Buscando una prueba combinatoria de la identidad $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\{{}_{n+1}C_{2}\}^2$

Question

Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema

P: demuestre que la identidad combinatoria (mediante una prueba combinatoria) $$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\{{}_{n+1}C_{2}\}^2$$

Answer 1

HINT

Contar el número de rectángulos en un $n$ por $n$ tablero de ajedrez de dos maneras diferentes.

Mueva el ratón sobre la zona gris para obtener una solución completa.

Un rectángulo está formado por dos líneas verticales y dos horizontales. Por lo tanto, el número de formas de elegir $n$ líneas verticales es $\dbinom{n+1}2$ y el número de formas de elegir $n$ líneas horizontales es $\dbinom{n+1}2$ . Por lo tanto, el número de rectángulos es $$\left(\dbinom{n+1}2 \right)^2$$ Contemos el número de rectángulos de otra manera. Consideremos un $m \times m$ cuadrado con fondo izquierdo en $(0,0)$ y arriba a la derecha en $(m,m)$ y $m \leq n$ . Contaremos el número de rectángulos que caen dentro del cuadrado y cuyo vértice superior derecho se encuentra en $x=m$ o $y=m$ . Si el vértice derecho está en $x=m$ y $y=d$ el número de rectángulos es $md$ . Del mismo modo, si el vértice derecho está en $x=d$ y $y=m$ el número de rectángulos es $md$ . Si el vértice derecho se encuentra en $(m,m)$ el número de rectángulos es $m^2$ . Por lo tanto, el número total de rectángulos es $$m^2 +\sum_{d=1}^{m-1} md + \sum_{d=1}^{m-1} md = m^2 +2m \dfrac{m(m-1)}2 = m^3$$ Ahora dejemos que $m$ correr de $1$ a $n$ para obtener el número total de rectángulos como $$\sum_{m=1}^n m^3$$

Answer 2

Yo (creo) que esta solución es de Pruebas que realmente cuentan . Puede que me equivoque al atribuirlo, pero en cualquier caso es un gran libro.

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Consideremos el par ordenado $(a, b, c, d)$ con $0 \le a, b, c < d \le n$ . El número de soluciones es:

$$ \sum_{d=1}^n d^3$$

Ya que después de elegir $d$ tenemos $d^3$ opciones para $(a, b, c)$ .

Entonces considere $(e, f)$ y $(g, h)$ con $0 \le e< f \le n$ y $0 \le g < h \le n$ . Hay ${n+1 \choose 2}^2$ opciones.

Bijection: Si $a < b$ Mapa $(a, b, c, d)$ a $(a, b)$ , $(c,d)$ . Si $b > a$ entonces el mapa $(a, b, c, d)$ a $(a, d)$ , $(c, d)$ . Por último, si $a = b$ Mapa $(a, b, c, d)$ a $(b, d)$ , $(c, d)$ . Esto puede ser invertido, y cubre los tres casos de $a > b$ , $a = b$ y $a < b$ .