Respondemos a la pregunta, pero de una forma demasiado enrevesada para el ejemplo numérico concreto del post. Demostramos el siguiente resultado.
Lema: Si $\varphi(n)=2q$ , donde $q$ es un primo impar, entonces $2q+1$ es primo.
Una consecuencia inmediata es que no podemos tener $\varphi(n)=14$ . Para entonces $q=7$ pero $2q+1$ no es primo.
Ahora demostramos el lema. Supongamos que $\varphi(n)=2q$ . Dividimos el análisis en casos.
Caso $1$ : Quizás $n=2^km$ , donde $k\ge 3$ y $m$ es impar. Entonces, por la multiplicidad de $\varphi$ tenemos $\varphi(n)=\varphi(2^k)\varphi(m)$ . Esto es imposible, ya que $\varphi(2^k)=2^{k-1}$ que es divisible por $4$ . Pero $2q$ no es divisible por $4$ .
Caso $2$ : Quizás $n=4m$ , donde $m$ es impar. Entonces $\varphi(n)=2\varphi(m)$ . Desde $2q$ es dos veces un número impar, se deduce que $\varphi(m)$ es impar. Esto sólo es posible para un número impar $m$ si $m=1$ . Pero entonces $\varphi(m)=2\ne 2q$ .
Caso $3$ : Quizás $n=2m$ o $n=m$ , donde $m$ es un número impar. En cualquier caso, $\varphi(n)=\varphi(m)$ .
Supongamos que $m$ puede ser factorizado como un producto $st$ , donde $s$ y $t$ son relativamente primos, y ninguno de los dos $s$ ni $t$ es igual a $1$ . Entonces $\varphi(s)$ y $\varphi(t)$ son pares, por lo que $\varphi(m)$ es divisible por $4$ . Pero $2q$ no lo es, por lo que no podemos tener $\varphi(m)=2q$ .
Queda por tratar el caso en el que $m$ es una potencia prima, tal vez igual a $1$ . Si $m=1$ entonces $2q=2$ no dos veces un primo impar.
Supongamos ahora que $m=p^k$ , donde $p$ es un primo impar, y $k\ge 1$ . Entonces $\varphi(m)=p^{k-1}(p-1)$ . Esto puede ser dos veces un primo impar en $2$ maneras: (i) $k=1$ y $p-1$ es dos veces un primo impar, o (ii) $p=3$ y $k=2$ .
En el caso (i), $2q=p-1$ Así que $2q+1$ es primo. En el caso (ii), $2q=6$ Así que de nuevo $2q+1$ es primo.
