Los coeficientes del polinomio característico de una matriz

Question

Para una matriz dada $A$, e $J\subseteq\{1,...,n\}$ nos vamos a denotar por $A[J]$ su principal menor formado a partir de las columnas y las filas con los índices de $J$.

Si el polinomio característico de a es $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, entonces ¿por $$a_k=(-1)^{n-k}\sum_{|J|=n-k}A[J]$$ es decir, ¿por qué es cada coeficiente de la suma del tamaño apropiado director menores de $A$?

Answer 1

Utilice el hecho de que $\begin{vmatrix} a & b+e \\ c & d+f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} $

Podemos usar este hecho para separar los poderes de $lambda$. Siguiente es un ejemplo de $2 \times 2$ matriz. $$ \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -\lambda & b \\ 0 & d-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + %% \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & -\lambda \end{vmatrix} + %% \begin{vmatrix} -\lambda & b \\ 0 & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} $$

Este descomponer $det$ expresión en suma de varias potencias de $\lambda$.

Ahora intente con un $3 \times 3$ de la matriz y, a continuación, generalizar.

Answer 2

Una manera de ver es: $A:V\to V$ induce la (de nuevo lineal) mapas de $\wedge^k A:\wedge^k V\to \wedge^k V$. Su fórmula (reexpresado en un invariante de la forma, es decir, independientemente de base) dice que $$\det(x-A)=x^n-x^{n-1} Tr A+ x^{n-2} Tr(\wedge^2 A)-...(*)$$ Podemos conjugar $A$, de modo que se convierte en parte superior triangular de la diagonal con los elementos de $\lambda_i$ ($\lambda_i$'s son las raíces de la car. polinomio). Ahora para triangular superior matrices de la fórmula $(*)$ dice que $$(x-\lambda_1)...(x-\lambda_n)=x^n-x^{n-1}(\sum\lambda_i)+x^{n-2}(\sum\lambda_i\lambda_j)-...$$ lo que es cierto, por tanto, $(*)$ es cierto.