Dada una variable aleatoria $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ tal que $\lambda > D$,$\lambda, D \in \mathbb{N}$, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra obtenida a partir de a $X$ es mayor que $\lambda$?
En otras palabras, ¿cuál es el valor de $\mathbb{P}(X > \lambda)$?
Creo que el cálculo de la probabilidad de $X$ siendo mayor que dicho valor $D$ el análisis de este para cada posible decir mayor que $\lambda$ es un posible camino a seguir, pero no estoy seguro de cómo es difícil calcular este sería.
De Poisson CDF se establece que, para $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ y $k \in \mathbb{N}$, $$ \mathbb{P}(X \leqslant k) = \mathsf{e}^{-\lambda} \sum\limits_{i = 0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} $$
Así, el valor que yo estoy pidiendo que debe ser la suma de las anteriores probabilidad del complemento de $D+1$ hasta el infinito, o, incluso, $$ 1 - \sum\limits_{p = 0}^{D} \left( 1 - \mathsf{e}^{-p} \sum\limits_{i = 0}^{D} \frac{p^i}{i!} \right) $$
Es este el valor correcto? Ya sé que $\lambda > D$, así que tal vez debería haber alguna probabilidad condicional de participar, pero no estoy seguro.
Si esto es correcto, lo que yo estoy preguntando es si no hay una manera más concisa para calcular esto, con menos sumatorias o ninguno en absoluto. Esto es debido a que voy a necesitar para el cálculo de este valor extensamente en un programa de ordenador y el tiempo de cómputo es muy, muy valioso.
