Sabemos que
si $\lim\limits_{x\rightarrow a}{y(x)}=a$ $\lim\limits_{x\rightarrow a}{w(x)}=b$ $\lim\limits_{x\rightarrow a}{\left(y(x)\times w(x)\right)}=ab$
Ahora $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}{\dfrac1{f(x)}}=m$ ($m$ es no-cero)
Considerar las funciones de $y(x)=\dfrac{1}{f(x)}$$w(x)=f(x)\times g(x)$. Ahora como tanto los límites de $y(x)$ $w(x)$ existe. Si se considera el límite de $y(x)\times w(x)\color{grey}{=g(x)}$, se puede demostrar que $g(x)$ se acerca al límite $\dfrac{L}{m}$.
Sobre la segunda pregunta:
- Como te habrás dado cuenta, antes de definir el límite, nos están imponiendo una condición que $L$ es real quiero evitar cosas como $\lim{f(x)}=\infty$, y afirman que $\lim f(x)$ existen .Escribimos $f(x)\rightarrow +\infty$$x\rightarrow a$, en lugar del $\lim$ es igual a $\infty$). Ahora esto se convierte en algo difícil! Aunque parece que la prueba anterior
las obras de esta también, no es así. No se puede utilizar como el
producto de los límites es igual al límite del producto es aplicable sólo
si el límite de ambos las funciones de 'existir', la existencia de límite de
$f(x)$ es un problema aquí, así que tenemos que resolver a más elementales
técnica.
Decimos que una función $f(x)$ enfoques $\infty$ si para cada a $M\in \mathbb{R}$ podemos encontrar una $N\in \mathbb{R}$ tal que $$x\ge N \implies f(x)\ge M.$$
Ahora como $f(x)g(x)$ enfoques $L$ podemos decir que por cada $\varepsilon^{'} =\varepsilon \cdot M -L$ existe un $N_1$ tal que $x>N_1 \implies -\varepsilon<\frac{L-\varepsilon^{'}}{f(x)}<g(x)<\frac{L+\varepsilon^{'}}{f(x)} <\varepsilon \tag{1}$
Y por lo tanto $g(x)$ enfoques $0$
(Para la demostración de (1) se tiene que asumir que el $L\ge0$, para el caso de $L<0$ se puede considerar $\varepsilon^{'}=\varepsilon \cdot M +L$ y se llega a la misma desigualdad. También la división por $f(x)$ es válido como podemos tener un $N_2$ tal que para todo $x>N_2$, $f(x)$ es mayor que $0$)
