¿Por qué la no conmutatividad en la mecánica cuántica nos requiere usar espacios de Hilbert?

Question

Estoy leyendo Por qué hacemos mecánica cuántica en espacios de Hilbert de Armin Scrinzi. Él dice en la página 13:

Lo nuevo en la mecánica cuántica es la no conmutatividad. Para manejar esto, resultó que la representación del espacio de Hilbert es un entorno matemático conveniente — considerado por muchos como el mejor. Para la mecánica clásica, trabajar en el espacio de Hilbert sería excesivo: solo necesitamos funciones en el espacio de fases.

Entiendo la definición de un espacio de Hilbert, pero no entiendo por qué la no conmutatividad nos obliga a usar espacios de Hilbert.

¿Alguien puede explicar?

Answer 1

Entiendo la definición de un espacio de Hilbert. Pero no entiendo por qué la no conmutatividad nos obliga a usar espacios de Hilbert.

No lo hace, pero eso no es lo que está diciendo Scrinzi.

La razón por la que no lo hace es porque podríamos trabajar, por ejemplo, en la representación de cuasi probabilidad de Wigner: $$\rho\mapsto W(x,p) = \frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty\langle x+x'|\rho|x-x'\rangle e^{-2ipx'/\hbar}\,\mathrm{d}x'\text{,}$$ donde para estados puros $\rho = |\psi\rangle\langle \psi|$ como es usual, y los operadores hermitianos corresponden a funciones mediante la transformación de Weyl inversa.

Observa que $W(x,p)$ es una función real que es como una distribución conjunta de probabilidad sobre el espacio de fases, excepto que se le permite ser negativo. El principio de incertidumbre nos exige renunciar a algo, pero en realidad no nos obliga a usar espacios de Hilbert.

Sin embargo, lo que Scrinzi está diciendo son dos cosas: (a) los espacios de Hilbert son muy convenientes para nosotros en la mecánica cuántica, y (b) los espacios de Hilbert podrían ser utilizados en la mecánica clásica, pero como la no conmutatividad no existe en la mecánica clásica, es "excesivo" allí, mientras que en la mecánica cuántica es "justo". Ambas afirmaciones son correctas.

La razón por la que podríamos haber utilizado espacios de Hilbert en la mecánica clásica es porque pueden representar álgebras de observables muy generales, mientras que el álgebra clásica de observables, al ser conmutativa, es en realidad más simple. (Cf. el teorema de Gel'fand-Naimark para álgebras $C^*$ en particular.)

La formulación del espacio de Hilbert de la mecánica clásica fue realizada por Koopman y von Neumann en 1931-1932. Pero lo que su formulación realmente hace es generalizar la mecánica clásica a menos que uno imponga una restricción artificial de que solo se permite medir observables en un conjunto mutuamente conmutativo; solo entonces se recupera exactamente la mecánica clásica (en el sentido del siglo XIX).

Es esa restricción artificial la que la mecánica cuántica elimina. Físicamente, la no conmutatividad de observables corresponde a un principio de incertidumbre entre ellos.

Answer 2

Para obtener una visión general y concisa del marco matemático de la Mecánica Cuántica, consulte esta respuesta. En resumen, los espacios de Hilbert surgen de la teoría de representación de las C*-álgebras, que se postulan como el objeto matemático relevante que describe una teoría cuántica (porque contiene observables en su parte autoadjunta, y estados como elementos especiales de su espacio dual topológico).

Para motivar aún más la no conmutatividad, considere los siguientes hechos. El primero es que cualquier C*-álgebra conmutativa (unitaria), por un teorema de Gelfand y Naimark, es isomorfa a $C(X)$, es decir, la C*-álgebra de funciones continuas sobre el espacio de Hausdorff compacto $X$, con una norma uniforme. Entonces, dicho espacio topológico se puede interpretar como el espacio de fases habitual de la mecánica hamiltoniana clásica.

Una motivación más profunda proviene del principio de incertidumbre de Heisenberg. Se sabe que, si tiene dos observables incompatibles (es decir, mediciones que influyen mutuamente en sus resultados), entonces no se pueden medir simultáneamente con precisión arbitraria, y una forma de reproducir esto es postular que tales observables, digamos $A$ y $B$, satisfacen la relación $$AB - BA = \frac {i\hbar}2C,$$ para algún otro observable (posiblemente generalizado) $C.

Otro fenómeno puramente cuántico es el de la interferencia, como la experimentada en el experimento de la doble rendija, y esto nunca ocurre si la C*-álgebra de observables es conmutativa. Por lo tanto, debe haber un sector de superselección que sea al menos bidimensional, y por lo tanto una representación irreducible de la C*-álgebra del sistema mecánico cuántico que no sea unidimensional. Porque si no es así, entonces se puede tomar la suma directa de todas las representaciones GNS de estados puros, que son irreducibles y por lo tanto unidimensionales por hipótesis. La imagen de tal representación es fiel y claramente conmutativa, y esto obliga a que la C*-álgebra misma sea conmutativa también (recuerde que una C*-álgebra es conmutativa si y solo si todas sus representaciones irreducibles son unidimensionales). Entonces, el espacio de Hilbert relevante para la mecánica clásica es simplemente $\mathbb C$, mientras que para la mecánica cuántica se necesita al menos $\mathbb C^2$ y una subálgebra cerrada irreducible de las matrices $2\times2$ de $\mathbb C$, es decir, $M_2(\mathbb C)$.

Answer 3

Una de las razones puede ser que si la posición ($x$) y el momento ($p$) fueran operadores en un espacio de dimensión finita, su conmutador $[x,p]$ siempre tendría traza cero. Por lo tanto, para tener la relación de Heisenberg necesitamos operadores (no acotados) en un espacio de dimensión infinita. :)