Demostrar que $\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)=4\sin(A)\sin(B)\sin(C)$ al $A,B,C$ son los ángulos de un triángulo

Question

Demostrar que $\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)=4\sin(A)\sin(B)\sin(C)$ al $A,B,C$ son los ángulos de un triángulo

Esta pregunta surgió en una miscelánea conjunto de problemas que he estado trabajando, para refrescar mi memoria sobre varios temas que hice a principios de este año. He intentado cambiando $4\sin(A)\sin(B)\sin(C)$ a $$4\sin(B+C)\sin(A+C)\sin(A+B)$$ by making substitutions by reorganizing $a+B+C=\pi$. I then did the same thing to the other side to get $$-2(\sin(B+C)\cos(B+C)+\sin(A+C)\cos(A+C)+\sin(A+B)\cos(A+B))$$ y luego trató de utilizar el ángulo compuesto de fórmula para ver si tengo la igualdad. Sin embargo, todo el asunto se convirtió en un gran lío y no me parece para estar más cerca de la solución. Estoy bastante seguro de que hay una forma más simple de la prueba de la igualdad, pero me parece que no puede averiguar. Tal vez hay una interpretación geométrica o tal vez se puede realizar utilizando sólo el álgebra y trigonometría. Cualquier sugerencia sería ser apreciado (yo preferiría un enfoque algebraico, pero sería agradable ver a algunos geométrica de las pruebas así)

Answer 1

He aquí otra manera de hacerlo. Desde $A+B+C=\pi$, tenemos los tres ángulos de un triángulo. Inscribir en ese triángulo en un círculo de unidad de diámetro (no radio de la unidad). Entonces $\sin A$, $\sin B$, y $\sin C$ realmente son las longitudes de los lados opuestos de que los tres ángulos---que es esencialmente la ley de los senos. El área de cualquier triángulo es el producto de las longitudes de los dos lados veces el seno del ángulo entre ellos, dividido por $2$. De manera que el área en este caso es $(\sin A\sin B\sin C)/2$. Ese es el lado derecho de la identidad, excepto que usted tiene $4$ en lugar de $1/2$ como el coeficiente. Por lo que es suficiente para mostrar que el área es $(\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C))/8$. Si el centro del círculo se encuentra en el interior del triángulo, se puede dibujar líneas desde el centro a cada uno de los tres vértices, rompiendo así el triángulo en tres triángulos más pequeños. Entonces es suficiente para mostrar que el $\sin(2A)/8$ es el área de uno de esos (y los otros dos son la muestra "similar"). Todo lo que necesita es que dos longitudes de los lados son cada una de las $1/2$ y el ángulo entre ellos es $2A$.

Si el centro del círculo se encuentra no en el interior del triángulo, entonces uno de los tres ángulos en el centro---decir $2A$---es más de $180^\circ$ $\sin(2A)$ es negativo. Usted obtener un firmada área. Dos de esas tres partes se suman a más de todo el triángulo, y luego de restar la tercera parte y obtener la cantidad correcta.

Esto también se generaliza a otros polígonos inscritos en un círculo, nos dice, por ejemplo, que $$ \text{si }a+B+C+D+E=\pi $$ $$ \begin{align} & \text{then }\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)+\sin(2D)+\sin(2E) \\[8pt] & = \underbrace{4\,\overbrace{\sin A\sin B\sin C}^{\text{three sines}}\,\, \overbrace{\cos D\cos E}^{\text{two cosines}} + \cdots\cdots}_{\text{10 terms}} - 8\sin A\sin B\sin C\sin D\sin E. \end{align} $$ (Los cinco ángulos de aquí son los ángulos adyacentes entre las diagonales del pentágono inscrito.)

Answer 2

Las otras dos respuestas son grandes, pero si alguna vez no se siente lo suficientemente inteligente como para venir con ellos, siempre se puede intentar el método drástico (usando la fórmula de Euler y exponenciales complejas): $$4\sin(A)\sin(B)\sin(C)=4\left(\frac{e^{iA}-e^{-iA}}{2i}\right)\left(\frac{e^{iB}-e^{-iB}}{2i}\right)\left(\frac{e^{iC}-e^{-iC}}{2i}\right) \, $$ Ahora, multiplica este producto y obtendrá ocho términos. Los dos donde todos los signos son los mismos será $e^{i\pi}/(-2i)$ $-e^{-i\pi}/(-2i)$ desde $A+B+C=\pi$, por lo que cancelar. Los otros seis se recogen en tres términos que parecen $$\frac{-e^{i(A+B-C)}+e^{i(-A-B+C)}}{-2i}=\sin(A+B-C)$$ (posiblemente con las variables permutados). Pero $A+B-C=\pi-2C$, lo que significa que $$\sin(A+B-C)=\sin(\pi-2C)=\sin(2C) \, ,$$ y del mismo modo con los otros dos términos. Para que su suma es el lado izquierdo de su identidad.