¿Cuáles son los posibles mínima acl-dimensiones fuertemente mínima modelos?

Question

La pregunta es, como en el título. Por acl-dimensión entiendo que la cardinalidad de máxima acl-conjunto independiente (bien definido muy mínima teorías). Por mínima entiendo que no hay ningún modelo equivalente de pequeña dimensión.

Es fácil encontrar ejemplos en los que es 0, 1 o $\aleph_0$ (algebraicas cierre de racionales, racionales como un espacio vectorial sobre sí mismos, y un countably de infinitas dimensiones espacio vectorial sobre un campo finito), y en ningún caso puede ser reducido a 0 o $\aleph_0$, posiblemente por la adición de un número finito de constantes símbolos (nombres para los elementos de una base), y por supuesto, no puede ser más que $\aleph_0$, pero me parece que no puede pensar en un ejemplo con un mínimo de dimensión finita, pero mayor que 1.

Creo que también puede ser demostrado que en un fuerte modelo mínimo, cualquier infinita, algebraicamente cerrado subconjunto es el universo de una escuela primaria de la subestructura, así que la pregunta puede ser reformulado como las siguientes: ¿cuáles son las posibles dimensiones mínimas de conjuntos infinitos fuertemente mínima modelos?

Answer 1

Aquí está un ejemplo de una fuerza mínima teoría cuyo primer modelo tiene dimensión $2$. Deje que el lenguaje de $\cal L$ contienen sólo uno ternario símbolo de función $\oplus$. Considere la posibilidad de la $\cal L$-teoría de la $\mathbb Q$ donde $\oplus$ se interpreta como $\oplus(x, y, z) = x + y - z$. También utilizamos la notación de infijo $x \oplus_z y$. Echemos un vistazo a esta teoría. En particular, se diría

• para cada $z$ el dominio es un no-trivial divisible de torsión libre de abelian grupo con identidad $z$ en operación $\oplus_z$;
• $\forall x, y, z, w, u (\oplus(x, y, z) = u \leftrightarrow \oplus(x, y, w) = \oplus(z, u, w))$

Denotar el pasado de la teoría a $T$. Ahora $T$ es uncountably categórica. De hecho, dado que cualquiera de los dos innumerables modelos de ${\cal M}_1$ ${\cal M}_2$ de la misma cardinalidad, elija cualquiera de los dos elementos de la $w_1 \in M_1$$w_2 \in M_2$. A continuación, $M_i$ $\mathbb Q$ espacio vectorial bajo $\oplus_{w_i}$. De modo que hay un isomorfismo $\alpha$ de las estructuras de $\langle M_i, \oplus_{w_1}, w_1\rangle$$\langle M_i, \oplus_{w_2}, w_2\rangle$. Pero, a continuación, este isomorfismo preserva $\oplus$ como el último axioma sostiene en ambas estructuras. En particular, $T$ es completa y firmemente mínima, como una incontable modelo de $T$ ($\aleph_0$saturado) es definably interpretables en un fuerte conjunto mínimo ($\mathbb Q$ espacio vectorial).

Ahora el primer modelo de $T$$\mathbb Q$. Pero ya que tanto $x \mapsto \lambda \cdot x$ $x \mapsto x + \lambda$ son automorfismos, podemos construir un automorphism que los mapas de cualquier par de $(x_1, y_1)$ $x_1 \neq y_1$ a cualquier par de $(x_2, y_2)$$x_2 \neq y_2$. Así, por cada $q \in \mathbb Q$ tenemos $acl(q) = \{q\}$. También desde $acl(0, 1) = \mathbb Q$ el primer modelo tiene dimensión $2$.

Esta es una corrección de un ejercicio en el Marcador del libro de Richard Rast. Creo que ha bajado el original, así que no puedo poner un enlace a ella.