una prueba válida de la serie de $\sum \limits_{v=1}^n v$

Question

$$\sum \limits_{v=1}^n v=\frac{n^2+n}{2}$$

por favor, no downvote si esta prueba no es estúpido, es mi primera prueba, y estoy sólo en el grado 5, así que no he maestro de ninguno de estos "grandes sumas de dinero'

prueba:

si nos fijamos en $\sum \limits_{v=1}^3 v=1+2+3,\sum \limits_{v=1}^4 v=1+2+3+4,\sum \limits_{v=1}^5 v=1+2+3+4+5$

he aprendido arco iris números en la clase de tres años, así que puedo usar ese conocimiento aquí:

$n=3,1+3=4$ $2$.

$n=4,1+4$ $2+3$

$n=5,1+5$ $2+4$ $3$

y más que me han hecho sobre el papel que no quiero escribir.

podemos ver en este para el raro caso de que se nos ha $(n+1)$ agregado juntos en movimiento desde el exterior, por lo que tenemos que agregar $(n+1)$ total $\frac{(n-1)}2$ veces más el número del centro, que es $\frac{n+1}2$.. dando a $\frac{n-1}2(n+1)+\frac{n+1}2=\frac{(n+1)(n-1)}{2}+\frac{n+1}{2}$ y puedo conseguir $\frac{n^2-1}2+\frac{n+1}2=\frac{n^2+n}2$ que es lo que queremos.

tan extraño se ha comprobado.

incluso tenemos una más simple problema: tenemos $n+1$ en cada par de números. ya que estamos, incluso, los números, tenemos $1+n=n+1$ , $n$ a, $2+(n-1)=n+1$ y podemos ver que esto es bueno para todos los números desde que aumentar un lado por uno y menor el otro por 1. así, obtenemos $\frac{n}2$ veces $n+1$ da $\frac{n^2+n}{2}$

por lo tanto, está probado para todos los casos. así es que está comprobado

Answer 1

Yo no estoy familiarizado con "arco iris de los números", y me temo que no puedo seguir cada paso de la prueba. Pero si usted está buscando un muy elemental prueba de ello, aquí está la más sencilla que puedo pensar:

Escribe la suma hacia adelante:

$S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n$

y luego hacia atrás:

$S_n = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1$

y, a continuación, sumar término a término para obtener:

$2S_n = (n+1) + (n+1) +... + (n+1)$

donde hay exactamente $n$ de esos términos.

Por lo $2S_n = n(n+1)$

y $S_n = \frac{1}{2}n(n+1)$.

Mis disculpas si este no responde a su pregunta. Yo sólo pensé que usted podría desear un buen primaria método para acercarse a este (y parece que menos trabajo que la división en casos, etc.)

Answer 2

$\displaystyle\sum_{v=1}^nv=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{v=1}^n2v=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{v=1}^n\left((v+1)^2-v^2-1\right)=\dfrac{1}{2}\left((n+1)^2-(n+1)\right)-=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

Answer 3

Mientras que la mayoría de las pruebas de que usted va a ver son algebraicas, a veces es útil para obtener una vista geométrico del problema. Siempre he preferido recibiendo múltiples perspectivas para darme una comprensión más profunda del problema en cuestión.

En la imagen, hay 5 diferentes puntos de vista del problema. El primero ha $(n+1)^2 - (n+1)$ cookies dispuestos en un cuadrado con la diagonal eliminado. El segundo arregla $n^2$ pizza en una plaza y, a continuación, corta el cuadrado por la mitad. El tercer punto de vista, organiza dos conjuntos de galletas en forma de triángulos para formar un único rectángulo. La cuarta vista nos encargamos de plazas en $n$ Ls que se unen para formar un rectángulo. Por último, tenemos $n+1$ computadoras en una red que conecta a cada equipo directamente a cada equipo.

Como un ejercicio, trate de cortar la fila central de pizzas en horizontal por la mitad, y reorganizar el triángulo de pizzas en un rectángulo.