Un grupo de álgebra sobre los números complejos, como cualquier algebra semisimple, es isomorfo a un producto de la matriz de los anillos,
$$R = M_{d_1 \times d_1} \times M_{d_2 \times d_2} \times \cdots \times M_{d_n \times d_n}$$
El d_i que aparecen son exactamente las dimensiones de las representaciones irreducibles de G. no sé cómo clasificar todos los conjuntos de números que aparecen en esta manera (pero la respuesta no es "todos").
Más de nonalgebraically campos cerrados de característica cero no trivial de álgebras de división puede aparecer en el grupo de álgebra. No sé si hay una restricción en la división de álgebras que pueden aparecer.
La situación en característica p es más complicado, pero podemos decir algo. Un finito-dimensional de álgebra tiene una matriz cuadrada de invariantes numéricos se llama la matriz de Cartan. (No estoy hablando de la Mentira de la teoría de la matriz de Cartan, pero me interesaría saber si ellos tienen el mismo nombre por una razón.) Hay una correspondencia uno a uno entre Un simple módulos y indecomposable proyectivas de a-módulos, y la entrada ij de la matriz de Cartan es el Jordan-Titular índice de la i-ésima módulo sencillo en el jth proyectiva módulo.
La teoría de Brauer (y el tema de la "parte 3" de Serre del famoso libro sobre la teoría de representaciones de grupos finitos) impone fuertes condiciones en la matriz de Cartan cuando Una es el grupo de álgebra de un grupo finito (sobre un gran campo finito). Se debe admitir una factorización como D. D^t, donde D es otra matriz con un número entero no negativo entradas. (D es la "descomposición de la matriz", que describe lo que sucede a simple módulos en característica cero cuando se reduce mod p.) Por ejemplo, la matriz de Cartan debe ser simétrico.
Lo que si podemos trabajar a través de un anillo que no es un campo, por ejemplo, los números enteros? Aquí un comentario sobre Yemon el punto de que hay muchos pares de grupos G y H para que el grupo de anillos C[G] y C[H] son isomorfos. Es más difícil de construir isomorphisms más pequeños anillos, y si es o no un isomorfismo de la forma Z[G] = Z[H] implica que G = H fue un problema abierto por un largo tiempo (el "isomorfismo problema para el grupo integral de los anillos", planteó por Brauer en los años 60) Un contraejemplo fue encontrado por Hertweck hace 10 años:
http://www.jstor.org/pss/3062112
(Pete puntos más arriba que estoy suponiendo que G es finito. Cuando G es infinito C[G] no puede ser analizado por el teorema de Wedderburn, no hay tal cosa como una matriz de Cartan, todo se rompe. Hay un contraejemplo para el isomorfismo problema más simple que Hertweck si no requerimos G y H para ser finito?)
