¿Interpretación geométrica de las resoluciones inyectivas/proyectivas?

Question

Entiendo la interpretación geométrica de los funtores derivados, así como su utilidad para dar una descripción simple y puramente algebraica de la cohomología.

También entiendo cómo se utilizan las resoluciones para calcular los funtores derivados. Sin embargo, no tengo una interpretación geométrica de estos cálculos. Soy capaz de digerir y jugar con los argumentos de búsqueda de diagramas, pero no tengo ninguna intuición geométrica.

He leído que la teoría de las categorías modelo proporciona una explicación geométrica para el uso de las resoluciones en el álgebra homológica, al establecer un paralelismo entre el álgebra homológica y la teoría de la homotopía abstracta. ¿Cómo es eso? ¿Podría alguno de los geómetras más experimentados de aquí pintarme una imagen sencilla de las ideas básicas?

Muchas gracias.

Answer 1

Ya se ha dado cuenta de que $$ \mathcal{L}_{mass}\propto \left[g^2(W^1_\mu W_\mu^{1}+W^2_\mu W_\mu^{2})+(gW_\mu^3-g^\prime B_\mu)^2\right] $$ con los términos cinéticos para $W^{i}_\mu$ y $B_{\mu}$ canónicamente normalizada. Por lo tanto, la combinación lineal neutra de $W^3_\mu$ y $B_\mu$ que obtiene la masa es proporcional a $(gW_\mu^3-g^\prime B_\mu)$ y la constante de proporcionalidad $1/\sqrt{g^2+g^{\prime\,2}}$ se fija por el hecho de que se quiere mantener los campos canónicamente normalizados (es decir, se está haciendo una rotación de $(W_\mu,B_\mu)^T$ a $(Z_\mu,A_\mu)^T$ ) $$ \mathcal{L}_{mass}\propto \left[g^2(W^1_\mu W_\mu^{1}+W^2_\mu W_\mu^{2})+(g^2+g^{\prime\,2})\frac{(gW_\mu^3-g^\prime B_\mu)^2}{g^2+g^{\prime\,2}}\right]= \left[g^2(W^1_\mu W_\mu^{1}+W^2_\mu W_\mu^{2})+(g^2+g^{\prime\,2})Z_\mu^2\right] $$ donde se ve que $$ \frac{g}{\sqrt{g^2+g^{\prime\,2}}}=\cos\theta_W $$ y $$ \frac{m_W^2}{m_{Z}^2\cos^2\theta_W}=1\,. $$ de acuerdo con la literatura. De hecho, sólo el $Z$ -bosón y $W^{\pm}$ obtienen masa, ya que el fotón no tiene masa: la combinación neutral que obtiene masa debe identificarse con $Z$ -boson

Answer 2

No es un enfoque geométrico, pero por intuición, prefiero la resolución libre a la resolución proyectiva. Tiendo a pensar que "proyectiva" es esencialmente "todas las propiedades que necesitamos en esta categoría para asegurar que obtenemos los mismos resultados que obtendríamos de una resolución libre". :)

Si $...F_3\rightarrow F_2\rightarrow F_1\rightarrow M$ es su resolución libre, entonces $F_1$ representa esencialmente información sobre un conjunto de generadores para $M$ despojado de toda relación. $F_2$ representa entonces un conjunto de relaciones entre aquellos generadores que generan todas las relaciones (pero de nuevo despojados de toda la información sobre sus relaciones.) Esencialmente, las resoluciones libres le dan una forma de medir la complejidad de las relaciones entre los elementos de $M$ . Estamos enumerando un conjunto de generadores, luego enumeramos un conjunto (completo) de relaciones entre esos generadores (a partir del cual se pueden determinar todas las demás relaciones), luego enumeramos un conjunto (completo) de metarrelaciones entre las relaciones, etc.

Curiosamente, recuerdo que esto se me ocurrió cuando hice un curso de Combinatoria con Richard Stanley utilizando su libro, Combinatoria y álgebra conmutativa .

Allí, ciertos problemas de recuento que requieren complicados argumentos de "inclusión-exclusión" pueden realizarse mejor tomando resoluciones libres de ciertas estructuras. Me fallan los detalles, pero recuerdo que uno de los problemas era "cuántos $n\times n$ las matrices de enteros no negativos tienen todas las filas y columnas que suman $d$ ?"

El conjunto de soluciones forma un algo-o-otro graduado con $d$ siendo el grado, y los generadores obvios siendo matrices de permutación, dando lugar a la primera $F_1\rightarrow M$ . Pero si sólo se cuenta el número de elementos de $F_1$ que van al grado $d$ entonces estás contando de más debido a las relaciones en $M$ entre esos generadores. Así que $F_2$ se utiliza para contar su exceso de recuento, y $F_3$ se utiliza para contar luego su infravaloración, etc.

(Obviamente, para la combinatoria, se necesita una resolución libre finita para que esta estrategia de conteo termine alguna vez).

Siento que hay una explicación geométrica implícita en esto, pero siempre pienso en términos de relaciones y relaciones-entre-relaciones, y una medida de la complejidad subyacente de las relaciones dentro del objeto algebraico $M$ .