Mostrar un esquema integral si y sólo si es irreducible y reducido.

Question

Estoy tratando de resolver el Ejercicio 5.2.F de Vakil notas:

Mostrar un esquema de $X$ es integral si y sólo si es irreducible y reducido.

Dónde se dice $X$ es reducido (integral) si $\mathscr O_X(U)$ es reducido (un integrante de dominio) para abrir todos los subconjuntos de a$U$$X$.

Claramente, si $X$ es integral, a continuación, cada una de las $\mathscr{O}_X(U)$ es un dominio, por lo tanto se reduce, por lo $X$ es reducido. No estoy seguro de cómo ver que $X$ es irreductible. Es obvio que para un esquema afín, ya que si $\mathscr{O}_X(X)=:A$ es un dominio, a continuación, $\text{Spec } A$ es irreductible. Soy capaz de utilizar esto para abordar el caso general? Como si $X=\cup_i U_i$ con cada una de las $U_i$ afín abierto, hace de cada $U_i$ siendo irreductible implica que $X$ es irreducible? Esto no parece la manera correcta de acercarse a ella.

No estoy seguro, me siento atrapado. Todas las sugerencias serán bienvenidos (prefiero que más de alguien que acaba de darme la respuesta).

Answer 1

Sugerencia para la dirección de avance: Si $X$ no es irreducible, eso significa que hay dos disjuntos no vacíos abrir subconjuntos $U,V\subset X$. Considere la posibilidad de $\mathscr{O}_X(U\cup V)$.

Sugerencia para la dirección inversa: Si $X$ es irreductible y reducido, por lo que es abierto subscheme de $X$, por lo que cada vacía afín a abrir subscheme de $X$ es la Especificación de un dominio. Para mostrar $\mathscr{O}_X(U)$ es un dominio arbitrario $U$, se puede demostrar que la restricción $\mathscr{O}_X(U)\to\mathscr{O}_X(V)$ es inyectiva para cualquier vacío afín a abrir subconjunto $V\subseteq U$.

Un fuerte indicio para la dirección inversa está oculto a continuación:

Para mostrar la restricción $\mathscr{O}_X(U)\to\mathscr{O}_X(V)$ es inyectiva, supongamos $f$ es en su núcleo. A continuación, $f$ se desvanece en $V$. Para mostrar $f$ se desvanece en $U$, es suficiente para mostrar $f$ se desvanece en $W$ para todos los otros afín a abrir $W\subseteq U$. Ahora uso el hecho de que $W$ es la Especificación de un dominio y $f$ se desvanece en $V\cap W$.

Answer 2

Si había desunido abrir subconjuntos $U,V$, luego por la gavilla de los axiomas $$\mathcal{O}_X(U \cup V) \cong \mathcal{O}_X(U) \times \mathcal{O}_X(V)$$ via restrictions $s \mapsto (s|_U, s|_V)$. This product has zero divisors of the form $(0,t)$ and $(t,0)$ unless one of $U$ and $V$ is empty. Contradiction since $\mathcal{S}_X(U \V copa)$ es integral.

Esto aparece como la Proposición 3.27 en Görtz, Wedhorn de la Geometría Algebraica (que es una gran referencia para los conceptos básicos de los planes).