Mostrar que $\mu\left(\bigcup_{j=1}^{N}E_j\right) \geq \frac{1}{6}\sum_{j=1}^{N}\mu(E_j)$

Question

Esto vino de un antiguo examen de calificación para la teoría de la medida:

Supongamos $(X,M,\mu)$ es una medida de espacio y $E_1,\ldots, E_N\in M$ $\mu(E_j\cap E_k)\leq \mu(E_j)/N$ por cada $j\neq k$. Mostrar que $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^{N}E_j\right) \geq \frac{1}{6}\sum_{j=1}^{N}\mu(E_j)$$

Pensamientos: yo que pensaba que para $E_1,\ldots,E_n\in M$ que $$\mu\left(\bigcup_{1}^{n}E_j\right)\leq \sum_{1}^{n}\mu(E_j)$$ when $E_j$'s no son disjuntas. Sé que podemos utilizar el disjointification truco para conseguir la igualdad. No estoy seguro de cómo mostrar el último, aunque. Cualquier sugerencia se agradece enormemente.

Answer 1

Aquí está mi trate de:

1) Demostrar por inducción que: $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^N E_i\right)\ge \sum_{j=1}^N \mu(E_j)-\sum_{i<k}\mu(E_iE_k)$$

2) De $\mu(E_i E_k)\leq \mu(E_i)/N$ tenemos también a $\mu(E_i E_k)\leq \mu(E_k)/N$, así: $$\mu(E_iE_k)\le\frac{\mu(E_i)+\mu(E_k)}{2N}$$

3) la Suma anterior de la desigualdad de la $i<k$ para obtener: $$\sum_{i< k}\mu(E_iE_k)\le\frac{N-1}{2N}\sum_{j=1}^N \mu(E_j)$$

4) Enchufe en el Paso 1 para obtener: $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^N E_i\right)\ge \frac{N+1}{2N}\sum_{j=1}^N \mu(E_j)$$

5) Trivialmente demostrar que $\frac{N+1}{2N}\ge\frac{1}{6}$ (por lo que parece que se podría muy bien haber $1/2$ en lugar de $1/6$)