La inyección de un grupo en sí mismo

Question

Deje $G$ ser un grupo con elementos $g_1, g_2\in G$ e inyectiva endomorphisms $\phi_1, \phi_2$ s.t. $\phi_1 (g_1)=g_2$ $\phi_2(g_2)=g_1$ . ¿Esto implica que hay un automorphism $\psi$$\psi(g_1)=g_2$. Espero que la respuesta sea no, pero estoy sin éxito la producción de un contador de ejemplo.

Answer 1

Deje $S$ el grupo de finitary permutaciones de $\mathbb{N}$ (es decir, las permutaciones que arreglar todo, pero un número finito de elementos de $\mathbb{N}$), y $A$ el subgrupo de incluso permutaciones. Deje $\sigma\in A$ $3$ciclo $(1,2,3)$.

Hay un inyectiva homomorphism $\theta: S\to A$$\theta(\sigma)=\sigma$. [Tomar una permutación $\tau\in S$ a una permutación de $\mathbb{N}\setminus\{4,5\}$, multiplicado por el $2$ciclo $(4,5)$ si $\tau$ es impar.]

Deje $G=S\times A$, e $\varphi:G\to G$ el inyectiva homomorphism dado por $\varphi(\tau_1,\tau_2)=\left(\tau_2,\theta(\tau_1)\right)$. A continuación,$\varphi(\sigma,1)=(1,\sigma)$$\varphi(1,\sigma)=(\sigma,1)$.

Sin embargo, no hay automorphism de $G$ de los que tomaron $(\sigma,1)$$(1,\sigma)$, ya que el cociente de $G$ por el subgrupo generado por a $(\sigma,1)$ es isomorfo a $C_2\times A$, mientras que el cociente por el subgrupo generado por a $(1,\sigma)$ es isomorfo a $S$, e $C_2\times A\not\cong S$ (uno solo no trivial en el centro).