Sea $M$ una matriz simétrica de tamaño $n \times n$.
¿Existe alguna igualdad o desigualdad que relacione la traza y el determinante de $M$?
Esta no es realmente una respuesta a la pregunta.
Respuestas
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Owen Sizemore
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3016
@MarianoSuárez-Álvarez Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo obvio, pero ¿por qué esta respuesta no responde a la pregunta? (la voté positivamente porque era exactamente lo que estaba buscando, ¿pero debería?)
@TheoreticalPerson Estrictamente hablando, esto no responde a la pregunta porque la ecuación no relaciona $\tr(A)$ con $\det(A)$. Sin embargo, la ecuación es ciertamente importante y elegante, y en cierto sentido se puede argumentar que realmente responde "al espíritu" de la pregunta.
El determinante y la traza son dos bestias completamente diferentes, poco relación se puede encontrar entre ellos.
Si la matriz no solo es simétrica (hermítica), sino también semidefinida positiva, entonces sus eigenvalores son reales y no negativos. Por lo tanto, dadas las propiedades ${\rm tr}(M)=\sum \lambda_i$ y ${\rm det}(M)=\prod \lambda_i$, y recordando la desigualdad de medias aritmética y geométrica, obtenemos la siguiente desigualdad (probablemente no muy útil):
$$\frac{{\rm tr}(M)}{n} \ge {\rm det}(M)^{1/n}$$
(la igualdad se cumple si y solo si $M = \lambda I$ para algún $\lambda \ge 0$)
Las respuestas de Owen Sizemore y Rodrigo de Azevedo son mucho más interesantes / esclarecedoras / útiles.
Rodrigo de Azevedo
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608
La traza de $\bf M$ es la derivada direccional del determinante en la dirección de $\bf M$ en ${\bf I}_n$, es decir,
$$ \det \left( {\bf I}_n + h {\bf M} \right) = 1 + h \, \mbox{tr} ({\bf M}) + O \left( h^2 \right) $$
En palabras de Tao, "cerca de la identidad, el determinante se comporta como la traza"$^\color{red}{\star}$. Más generalmente,
$$\det( {\bf A} + h {\bf B} ) = \det({\bf A}) + h \, \mbox{tr} \left( \mbox{adj} ({\bf A}) \, {\bf B} \right) + O \left(h^2\right)$$
que es una variación de la fórmula de Jacobi. Nota que no es necesario que $\bf M$ sea simétrica.
<span class="math-container">$\color{red}{\star}$</span> Terence Tao, <a href="https://terrytao.wordpress.com/2013/01/13/matrix-identities-as-derivatives-of-determinant-identities/" rel="noreferrer">Identidades de matrices como derivadas de identidades de determinantes</a>, 13 de enero de 2013.
El OP preguntó por una relación entre el determinante y la traza. Le di una. En ningún lugar se escribió que no estaban permitidas las derivadas.
Quiere una desigualdad o una igualdad que implique la traza y el determinante de una matriz simétrica. Lo que escribiste no cumple con eso.
hush
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Hurkyl
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57397
Hasta el signo, la traza y el determinante de una matriz de $n \times n$ son coeficientes de su polinomio característico (específicamente, los coeficientes en los grados $n-1$ y $0$ respectivamente).
La única restricción que agrega el hecho de que la matriz sea simétrica es que el polinomio característico sea totalmente real; es decir, todas sus raíces son reales.
(nota: todo polinomio totalmente real es un polinomio característico; por ejemplo, de la matriz diagonal cuyas entradas son las raíces)
Por lo tanto, tu problema es equivalente a
Sea $f$ un polinomio mónico de grado $n$ cuyas raíces son todas reales. ¿Existe alguna relación entre el coeficiente en el grado $n-1$ y el coeficiente constante?
Creo que solo se puede decir algo cuando $n \leq 2$. Cuando $n=2$, el requisito de que las raíces sean reales implica que $\mathrm{tr}(M)^2 \geq 4 \det(M)$.
Solo para ampliar el último punto en beneficio del OP, los coeficientes del polinomio característico para $n = 2$ son, hasta el signo, exactamente $\operatorname{tr} M$ y $\det M; mirar el discriminante da la desigualdad indicada. Para $n$ más alto, hay más términos en el polinomio mínimo.
