Cálculo explícito de módulos inducidos de productos semidirectos con el grupo simétrico

Question

Me he atascado en un proyecto en el que he estado trabajando, esencialmente en la siguiente cuestión combinatoria sobre el grupo simétrico.

Se puede obtener una representación unidimensional $M^n_c$ del álgebra $T_n := S_n \rtimes \mathbb{C}[y_1, \dots, y_n] $ dejando que cada $y_i$ actuar por $c$ y $S_n$ actuar de forma trivial.
Dada una partición $\pi$ de $n =n_1 + \dots + n_k$ y $c_1, \dots, c_k \in \mathbb{C}$ podemos considerar el módulo inducido estándar $$ M^{\pi}_c = \mathrm{Ind} ( M^{n_1}_{c_1} \otimes \dots \otimes M^{n_k}_{c_k}) $$ donde la inducción es desde la subálgebra $T_{n_1} \otimes \dots \otimes T_{n_k} \subset T_n$ a $T_n$ .

Por lo que sé, los cocientes simples de estos módulos estándar forman una clase completa para las representaciones simples de $T_n$ . (Creo que esto es un hecho general sobre los productos semidirectos de un grupo finito con un álgebra conmutativa, junto con el hecho de que las representaciones del grupo simétrico $S_n$ se puede obtener tomando la inducción de cocientes de la representación trivial de un subgrupo de Young $S_{n_1} \times \dots \times S_{n_k}$ .)

Mi pregunta es cómo representar esto explícitamente en términos de los objetos simples de la categoría semisimple $Rep(S_n)$ . En primer lugar, el $S_n$ -Módulo $M^{\pi}_c$ puede describirse de manera combinatoria en términos de los objetos simples en $Rep(S_n)$ utilizando los números de Kostka. La acción del $y_i$ 's en $M^{\pi}_c$ puede darse en términos de un morfismo adecuado $y: \mathfrak{h} \otimes M^{\pi}_c \to M^{\pi}_c$ , donde $\mathfrak{h} \in Rep(S_n)$ es la representación regular.

La regla de Pieri permite calcular la descomposición en irreducibles (parametrizada por los diagramas de Young, por supuesto) de $\mathfrak{h} \otimes M^{\pi}_c $ para que podamos ver $y$ como un conjunto de matrices basadas en esta descomposición (matrices con respecto a los objetos simples en $Rep(S_n)$ no como espacios vectoriales).

¿Existe algún método para calcular estas matrices?

Estoy interesado en esto porque puede permitir una manera de interpolar directamente la construcción de estos módulos al rango complejo, a través de Pavel Etingof programa . (Creo que se puede interpolar la construcción de otra manera, razonando más directamente sobre la definición de la categoría $Rep(S_t)$ dado por Deligne, pero esto parece ser inútil en lo que respecta a los cálculos explícitos -que podrían ser útiles para estudiar los "fenómenos de degeneración" que Etingof ha sugerido que podrían existir). En este caso tenemos categorías tensoriales $Rep(S_t)$ para $t$ no necesariamente un número entero, y mientras la interpretación en términos de espacios vectoriales falla, la de los diagramas de Young no.

Editar (27/12) Hoy he añadido una recompensa y aquí hay algo de información adicional que puede ser útil:

Debería salir que las matrices que representan el $y$ -morfismo $\mathfrak{h} \otimes M^{\pi}_c \to M^{\pi}_c$ son polinomios en la dimensión $n$ . Al aumentar $n$ cambiamos la partición $\pi$ añadiendo al primer elemento (el más grande) y dejando fijas las filas inferiores. Dado que un objeto simple en $Rep(S_t)$ para $t$ no un número entero puede ser representado como un diagrama de Young normal (de tamaño, digamos, $N$ ) con una "línea muy larga" de "tamaño" $t-N$ en la parte superior, este tipo de interpolación polinómica permitirá una interpolación del $M^{\pi}_c$ a un rango complejo. Mi afirmación de que debería salir como un polinomio se basó en el estudio de la inducción directamente sobre estas categorías y en la constatación de que era interpolable. Sin embargo, no sé cómo calcular el $y$ directamente como matrices a través de la descomposición simple de objetos. Tenía la esperanza de que existiera una forma limpia y no demasiado intensiva de hacer esto, pero desafortunadamente todavía no me siento lo suficientemente cómodo con la teoría del grupo simétrico como para tener alguna idea de cómo proceder.

También me interesa el álgebra afín degenerada de Hecke de tipo A, donde este tipo de módulos inducidos estándar pueden definirse de forma similar. Sus cocientes simples forman una colección completa de módulos irreducibles para el álgebra de Hecke según un teorema de Zelevinsky, y sé que éstos también pueden interpolarse razonando sobre las definiciones del artículo de Deligne (así se obtienen objetos en la categoría interpolada $Rep(H_t)$ que se define en la charla de Etingof). Pero también tengo curiosidad por saber cómo es posible calcular el $y$ -como matrices utilizando la descomposición en irreducibles en $Rep(S_t)$ .

Answer 1

Sospecho que sé la respuesta, pero todavía no tengo una prueba (no porque piense que sería difícil de demostrar, sino porque no lo he intentado realmente; cuando veas mi conjetura, probablemente querrás creerla). La respuesta no está planteada en base a simples, porque no he calculado la descomposición de $\mathbb{C}[S_n/S_{pi}]$ . Sin embargo, está planteado en la categoría tensorial S_n-mod, por lo que dada esa descomposición, se puede ajustar fácilmente lo que escribo aquí.

Es un hecho: Sea H un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita (por ejemplo, H=\mathbb{C}[S_n]), y sea $V\in H$ -mod sea un irrep. Consideremos H como un módulo H a través de la acción izquierda. Entonces $V\otimes H\cong H^{\oplus dim(V)}$ .

La prueba de este hecho es la siguiente (véase http://www-math.mit.edu/~etingof/tenscat.pdf o los comentarios de Akhil más abajo):

$Hom_H(V\otimes H,W)=Hom_H(H,^\ast V\otimes W) = \widetilde{^\ast V\otimes W}$

Por otro lado, $Hom_H(\tilde{V}\otimes H,W) = \tilde{V}\otimes Hom_H(H,W) = \widetilde{V\otimes W}$ ,

donde $\tilde{M}$ significa que nos olvidamos del módulo $M$ hasta un espacio vectorial, que usamos como espacio de multiplicidad (sólo porque la descomposición de la suma directa que afirmé originalmente no está dada canónicamente, sólo sabes que existe este espacio de multiplicidad)

(arriba tomamos duales de la derecha ya que no asumí $H$ es conmutativo o cocomutativo; para $C[G]$ no es necesario distinguir). Uno podría (y debería) sentirse incómodo de que tengamos duales por un lado y no por otro. Sin embargo, la representación estándar para $S_n$ es especial porque es isomorfo a su propio dual, enviando $e_i$ a $e^i$ (la cuestión es que el representante estándar de $S_n$ tiene una base incorporada en su definición).

El hecho general anterior sobre las álgebras de Hopf se utiliza para relacionar la dimensión de Frobenius-Perron para representaciones de álgebras de Hopf con la dimensión ordinaria del espacio vectorial subyacente; de hecho, la representación regular es el único vector propio que realiza la dimensión de Frobenius Perron como un valor propio.

Bien, ahora estamos considerando $\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_n/S_{\pi}]\to \mathbb{C}[S_n/S_{\pi}]$ . Esto es entonces isomorfo a $(\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_n])\otimes_{S_\pi}\mathbf{1}$ donde se tensa el trivial $S_\pi$ -módulo de la derecha. Esto se debe a que $C[S_n]$ es un $S_n-S_\pi$ bimodal, de modo que el mapa $\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_n] \to \mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_n/S_\pi]$ dada por la multiplicación por la derecha con el simetrizador $a_\pi=\sum_{g\in S_\pi} g$ es un $S_n$ -morfismo, y nos permite identificar $\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_n]\otimes_{S_\pi}\mathbf{1}$ con $\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_\pi]$ . Moralmente, esto es justo porque $S_\pi$ actúa a la derecha, mientras que la otra acción es a la izquierda.

[se ha editado un error del párrafo anterior]

Junto con el hecho, esto implica que $\mathfrak{h}\otimes \mathbb{C}[S_n/S_\pi]$ es, de hecho, simplemente isomorfo a $\mathbb{C}[S_n/S_\pi]^{\oplus dim(\mathfrak{h})},$ que en realidad debería escribir como $\mathbb{C}[S_n/S_\pi]\otimes \tilde{\mathfrak{h}^\ast}$ .

Bien, ahora tenemos esta función $c: \mathfrak{h}\to \mathbb{C}$ . Proyectaremos $\mathbb{C}[S_n/S_\pi]^{\oplus dim(\mathfrak{h})}$ (o más bien $\mathbb{C}[S_n/S_\pi]\otimes \tilde{\mathfrak{h}}$ ) a $\mathbb{C}[S_n/S_\pi]$ con sólo aplicar $c$ al espacio de multiplicidad.

No he demostrado realmente que este último párrafo sea lo que ocurre, pero una vez que se ha aplicado el "Hecho" anterior, esto parece la única suposición natural. Imagino que verificarlo sería bastante sencillo.

Tenga en cuenta que no parece importar cómo $\mathbb{C}[S_n/S_{\pi}]$ se descompone en simples, ya que todos se agrupan.