¿Cómo puedo hallar la raíz cuadrada con lápiz y papel?

Question

Vale, sé que es una pregunta muy básica. Aprendí dos métodos en la escuela. Pero ahora, me olvido de uno.

Este es un método sencillo que conozco.

1. Encuentra los divisores primos del número
2. Omitir la mitad de los números que han aparecido veces pares
3. multiplicar el resto

Por ejemplo, quieres encontrar la raíz cuadrada de 36. Encuentras los divisores. Son 2x2x3x3. En el paso 2 aparecen como 2x3. Eso es 6. El problema es que este método funciona cuando la raíz cuadrada es un número entero. No funciona para los números que no tienen raíz cuadrada entera. Como el 38.

Así que mi pregunta es cómo puedo encontrar la raíz cuadrada de cualquier número arbitrario utilizando lápiz y papel.

Answer 1

Puede utilizar la identidad $(x+c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$ para llegar a un método similar a la "división larga". Permítame mostrarle cómo se hace para 3838 antes de dar el algoritmo.

1. Empieza con 3838
2. Escribe los dígitos en grupos de 2, así que escribe 3838 como 38,38.
3. Para el "grupo de 2 más alto", encuentra el mayor número cuadrado menor que él. En este caso, $6^2 = 36 < 38 < 49 = 7^2$ . Así que escribes 6 y le restas 36 al primer grupo. Entonces obtienes
4. 2,38 = 38,38 - 36,00.
5. Toma los 6 que has anotado antes, multiplícalos por 20 (así obtendrás 120). Ahora encuentra el mayor múltiplo de $6\times 20$ que es inferior a 238. Verás que es 1. Así que anotas 1 (por lo que tu número es ahora 61). Resta a 238 120 para obtener 118.
6. Resta de 118 el número $1 = 1^2$ para conseguir 117. Ahora añádele dos dígitos más (para formar 117,00). Toma 61, multiplícalo por 20 y obtendrás 1220. Encuentra el mayor múltiplo de 1220 menor que 11700, que sería $1220 \times 9 = 10980$ . Así que escribe 9, y tu número es 61,9, y resta a 11700 el número 10980 para obtener 720. Resta a 720 el número $9^2 = 81$ para obtener 639.

Así que has llegado, a este punto, $3838 = (61.9)^2 + 6.39$ . Y puedes continuar el proceso indefinidamente.

¿Cómo funciona esto? Dado un número $A$ se quiere encontrar su raíz cuadrada en representación de base-10. Supongamos que su raíz cuadrada es como $$ a_{100}a_{10}a_1.a_{0.1}a_{0.0.1}\ldots $$ cuando se expande como una cadena de dígitos. Entonces se encuentra el mayor $a_{100}$ tal que $$ (a_{100}\times 100)^2 \leq A $$ (de forma similar a como se hace la división larga). Luego, para resolver el siguiente dígito, se utiliza ese $$ (a_{100} \times 100 + a_{10}\times 10)^2 \leq A $$ (ya que está truncando la expansión decimal, lo que hace que el número sea más pequeño). Así que resuelve el mejor $a_{10}$ tal que $$ (a_{100})^2\times 100^2 + \left[ 20 \times (a_{100}\times a_{10}) + (a_{10})^2\right] \times 100 + \leq A $$ La expresión anterior muestra por qué en el primer paso se quieren agrupar los dígitos de dos en dos: en cierto sentido estamos pensando en $A$ como en base-100, el "cuadrado" de base-10.

En cada paso se utiliza la identidad $(x+c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$ para calcular la corrección del siguiente dígito de la raíz cuadrada.

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Otro método, como lo hacían los babilonios, era recientemente detallado por John Baez en su blog que utiliza el "caso de igualdad" de la desigualdad media aritmética-media geométrica para alimentar la iteración.

Answer 2

El mejor método que conozco es la serie recursiva: $$x_1=b\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{b}{x_n}\right)$$ Converge muy rápidamente a $\sqrt{b}$ - por ejemplo, para b = 3, es precisa con 7 decimales después de sólo 4 términos. La división larga puede no ser muy fácil de realizar estrictamente con lápiz y papel, pero es factible.

Answer 3

Si tu número es lo suficientemente cercano a un cuadrado perfecto, puedes utilizar la expansión $$ \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 +- \cdots + (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2\cdot(2n)!!}x^n+\cdots $$ donde $$ (2n)!! = (2n)(2n-2)\cdots4\cdot2,\quad(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots3\cdot1. $$

Se dice que el famoso físico R. Feynman utilizó esta fórmula y batió un ábaco.

Answer 4

Esto proviene del método de Euler en la aproximación de soluciones a ecuaciones diferenciales. Esto comienza con la noción fundamental de que la derivada de f(x)= $x^.5$ es igual a f'(x)= $.5x^{-.5}$ . Así que ahora es posible aproximar las raíces. Tomemos la raíz de 38. El cuadrado perfecto más cercano es 36. Así que para aproximar la raíz cuadrada de 38, quieres tomar la raíz cuadrada de 36 y luego añadir $2*.5x^{-.5}$ . Esto le da $6+1/6$ o 6,166666 repitiendo, que es una aproximación bastante buena. Si tienes preguntas más específicas, sólo tienes que preguntar.

Answer 5

La forma general del método de Newton para la búsqueda del cero es \begin{equation*} x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \end{equation*} El Raíz cuadrada recíproca Newton se obtiene estableciendo el algoritmo $f(x) = \frac{1}{x^2-a}$ y obtenemos \begin{equation*} x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{1/x_k^2-a}{-2/x_k^3}=x_k + \frac{1}{2}x_k(1-ax^2_k). \end{equation*} La secuencia $\{x_0,x_1, \ldots, x_k, \ldots\}$ converge cuadráticamente, para todo $x_0 >0$ a un punto fijo $x$ . Es decir \begin{equation*} x = x + \frac{1}{2}x(1-ax^2), \end{equation*} que tiene dos soluciones, $x = 0$ y $x = 1/\sqrt{a}$ .

Calculamos $x_{k+1}$ en dos pasos:

1. $e_k := 1-a\star x_k\star x_k $
2. $x_{k+1} := x_k + e_k\star x_k/2$

Aquí, $e_k$ es el error relativo en $x^2_k,$ es decir, $(1/a-x^2_k)/(1/a)=(1-ax^2_k),$ y $e_kx_k/2$ es el término de corrección.

El aspecto más importante de este algoritmo es que sin divisiones son necesarios. La división por 2 se puede hacer por desplazamiento de bits. Calculando $x_{k+1}$ requiere 3 Mults y 2 Adds . Una última multiplicación, $a\star x_k$ se hace para calcular $\sqrt{a}$ .

Si un valor inicial adecuado para $x_0$ se elige, entonces este algoritmo converge a la doble precisión IEEE completa en unas 5 iteraciones. Intel utiliza un algoritmo similar a éste en su procesador Itanium, cuya operación aritmética básica es la multiplicacion-adicion fusionada (FMA), $z = ax+y$ . Todas las demás operaciones se realizan con esta instrucción FMA. Por razones históricas, Intel evita la división larga.

Véase Peter Markstein, IA-64 y funciones elementales Prentice-Hall, 2000

Información adicional

El Newton recíproco se obtiene estableciendo el algoritmo $f(x) = \frac{1}{x-a}$ y obtenemos \begin{equation*} x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{1/x_k-a}{-1/x_k^2}=x_k + x_k(1-ax_k). \end{equation*}

Calculamos $x_{k+1}$ en dos pasos:

1. $e_k := 1-a\star x_k $
2. $x_{k+1} := x_k + e_k\star x_k/2$

Aquí, $e_k$ es el error relativo en $x^2_k,$ es decir, $(1/a-x_k)/(1/a)=(1-ax_k),$ y $e_kx_k/2$ es el término de corrección. Cada uno de estos dos pasos se calcula con una sola instrucción FMA. La división, $z = y/x$ se calcula como $y\star\frac{1}{x}$ . Nótese la similitud de este algoritmo con el de la raíz cuadrada recíproca.

Elegir un valor inicial $x_0$ para el Algoritmo Recíproco es un asunto delicado. Se puede demostrar que el dominio de convergencia es $ 0 < x_0 < \frac{2}{a}$ pero esto plantea la pregunta: ¿qué es $\frac{2}{a}$ ? Esto es entrar en aguas profundas, así que dejaré la respuesta a Peter Markstein más arriba.