Contradicción en las normas relativas a los determinantes y las operaciones de fila?

Question

En mi libro de texto dice que si le multiplicar una fila en una matriz de $A$ por un valor distinto de cero constante $c$ obtener $B$,$\det{B}=c\det{A}$.

Más tarde, en el que dice que si se obtiene el $B = cA$ mediante la adición de $c$ veces $k^{\text{th}}$ fila $A$ $j^{\text{th}}$ fila $\det{B}=\det{A}$.

No es esto una contradicción? No es la adición de $c$ veces $k^{\text{th}}$ fila $A$ $j^{\text{th}}$ fila equivale a multiplicar el $k^{\text{th}}$ fila $c$, lo que aumenta el factor determinante por un factor de $c$, y, a continuación, agregar la fila de abajo?

En otras palabras, es (I) la misma que la (II) con el $2$ pasos combinados?
I. $cR_k + R_j \rightarrow R_j$. $1$ paso en total.
II. En primer lugar, do $cR_k \rightarrow R_k$. Segundo, hacer $cR_k + R_j \rightarrow R_j$. $2$ pasos en total.

Answer 1

Ellos no son el equivalente de las operaciones, si añado $c$ veces $2^\text{nd}$ fila de $$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$ a la $1^\text{st}$ I get $$\begin{bmatrix}1 & c \\ 0 & 1\end{bmatrix}.$$ Por otro lado, si acabo de multiplicar el $2^\text{nd}$ fila $c$ I get $$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & c\end{bmatrix}$$ y, a continuación, agregarlo a la $1^\text{st}$ da $$\begin{bmatrix}1 & c \\ 0 & c\end{bmatrix}.$$

Answer 2

la diferencia es que en el último caso el $k^{th}$ fila también sería alterado.

lo que daría el mismo resultado, sería multiplicar el $k^{th}$ fila $c$, a continuación, añadir a la $j^{th}$ fila y, a continuación, dividir el $k^{th}$ fila $c$...

pero que llevaría a $\det A=\frac{1}{c}.c.\det A$...
no hay contradicción aquí...

Answer 3

Esto sólo sería una contradicción si usted administra (a través de la adición de combinaciones lineales o filas a otras filas de arriba) para la escala de una de las filas, sin alterar los demás.

Los únicos casos que soy consciente de dónde puede hacerlo (por ejemplo, la repetición de filas de hasta un factor de constanza) característica no es invertible la matriz, por lo tanto, tienen 0 determinante, de modo escala lineal no importa.

Answer 4

El punto es que el determinante de la matriz de $A$ no se altera si se agregan $c$ veces fila $k$ fila $j$ $j$ diferente de la $k$.

La razón es que si $j \ne k$, esta operación se logra multiplicando $A$ a la izquierda por $I + c e_{jk}$, lo $B = (I + c e_{jk}) A$. Ahora $I + c e_{jk}$ ha determinante $1$ si $j \ne k$, pero determinante $c+1$ si $j = k$.