La descomposición como un producto de factores

Question

Durante varios días, yo trate de hacer este ejercicio. Sin éxito.

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos $k$$n$, $k$ enteros positivos $m_1, m_2, \dots, m_k$ (no necesariamente distintos) tales que: $$1+ \frac{2^k - 1}n = \left(1+\frac 1{m_1}\right)\cdot\left(1+\frac 1{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac 1{m_k}\right)$$

Answer 1

$k=1$ es clara. Ahora supongamos que el enunciado es cierto para algunos fijos $k$ (y todos los $n$), y proceder a demostrar por $k+1$.

Si $n$ es par, entonces podemos escribir $1+\frac{2^k-1}{\frac{n}{2}}$ como un producto de la forma con $k$ términos. Y así, el siguiente puede ser escrito como un producto con $k+1$ términos:

$$\left(1+\frac{1}{n+2^{k+1}-2}\right)\left(1+\frac{2^k-1}{\frac{n}{2}}\right) = \left(\frac{n+2^{k+1}-1}{n+2^{k+1}-2}\right)\left(\frac{n+2^{k+1}-2}{n}\right)$$ $$= \frac{n+2^{k+1}-1}{n} = 1 + \frac{2^{k+1}-1}{n}$$

De esta forma se comprueba que la reclamación al $n$ es incluso. Si $n$ es impar, entonces podemos escribir $1+\frac{2^k-1}{\frac{n+1}{2}}$ como un producto con $k$ términos. Como en el anterior, el siguiente es un producto con $k+1$ términos:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2^k-1}{\frac{n+1}{2}}\right) = \left( \frac{n+1}{n}\right)\left( \frac{n+2^{k+1}-1}{n+1}\right)$$ $$= \frac{n+2^{k+1}-1}{n} = 1 + \frac{2^{k+1}-1}{n}$$

Que acerca de qué.