Prueba compleja no segura

Question

Hay este problema en mi tarea, lo hice, pero de alguna manera no parece correcto. Me pregunto dónde está el problema... ¡Por favor ayúdame :)

Mostrar que $\int_\gamma z^n dz=0$ para cualquier $\gamma$ cerrada y suave y cualquier entero $n\neq -1$. [Si $n$ es negativo, asumir que $\gamma$ no pasa por el origen, ya que de lo contrario la integral no está definida.]

$\rightarrow$ Sol. Sea $z=\gamma(t)$, $dz=\gamma'(t)dt$, $a\leq t\leq b$, $\gamma(a)=\gamma(b)$. Entonces: \begin{align*} &\int_\gamma z^n dz\\ =&\int_a^b\gamma(t)^n\gamma'(t)dt\\ =&\int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} z^n dz\\ =&\frac{z^{n+1}}{n+1}\bigg|_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}\\ =&0\\ \end{align*}

¿Cuál podría ser el problema? ¡Gracias!

Answer 1

¡Muy buena pregunta!

El problema podría estar solo con $n=-1$, porque $\int 1/z=\ln z$ (en lugar de $z^0$), y el logaritmo no está bien definido como función en $\Bbb C$, tiene infinitas 'ramas' numerables porque $$e^{2\pi i+z}=e^z$$ para todo $z\in\Bbb C$. Y, de hecho $$\int_{|z|=1}\frac1z=2\pi i$$ y no es $0$. Esta es la base del teorema de los residuos y la forma integral de Cauchy, y muchos más..