Demostrar que si $f(x)$ es continua en $\mathbb R$, entonces existe $x$ tal que $f(x)f(x+1) \ge 0$

Question

Tengo una pregunta de tarea para demostrar que si $f(x)$ es continua en $\mathbb R$ entonces existe $x$ tal que $f(x)f(x+1) \ge 0.

No logro ver por qué esto es cierto y cómo puedo demostrarlo.

¿Alguien me puede ayudar? ¡Gracias :)

Answer 1

Si $f(x)=0$ para algún $x$, entonces es trivial. De lo contrario, $f>0$ o $f<0$ siempre, por continuidad. En este caso toma cualquier $x.

Adición: la suposición de continuidad no puede ser eliminada; por ejemplo, toma $f(x)=(-1)^{\lfloor x \rfloor}$.

Adición #2: el ejemplo de $f(x)=\sin(\pi x)$ muestra que es posible que el conjunto de $x$ que satisfacen el requisito tenga medida cero (aunque siempre es al menos infinito numerable).

Answer 2

Supongamos que tenemos que /El producto es negativo /Para algún $x\in \mathbb{R}$.

Entonces los signos de ambos /Términos del producto anterior /No pueden ser iguales.

Entonces por el TVI/Para este $x$ y $x+1$/La raíz está en medio.

Que esa raíz sea $r$/El producto en $r$,$r+1$/Cero, QED.