¿Por qué usamos los grupos y no los GRUPOS?

Question

Cuando un grupo se define, pedimos que los elementos pertenecen a un conjunto. Si permitimos que ellos pertenecen a una Clase adecuada obtenemos un GRUPO.

¿Cuál es la ventaja de trabajar con grupos? Cuáles son las propiedades que perdemos cuando trabajamos con GRUPOS?

Un ejemplo de la notación se puede encontrar aquí: http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/papers/games12.pdf

Answer 1

Por las mismas razones por las que la mayoría del tiempo sólo hablamos de sets y no adecuada clases en general. En la gran mayoría de los contextos, propio de las clases no son necesarios en absoluto.

En la práctica, estamos interesados en objetos pequeños. Adecuada clases surgir principalmente cuando queremos algún tipo de objeto universal. Pero incluso entonces, la universalidad es por lo general bastante superficial – sólo puede pensar que la supuesta clase adecuada es en realidad un conjunto en una extensión adecuada del universo, y su único universal para objetos de pequeño tamaño. De esa manera, siendo una clase adecuada es bastante relativo.

Un problema diferente es que para la correcta clases no tenemos muchas construcciones y teoremas que son de uso común, como las relaciones de equivalencia, cocientes (así que no hay teoremas de isomorfismo!, no hay presentaciones!), wellorderings. Si queremos añadir aquellas cosas que estamos haciendo básicamente lo mismo que lo que he mencionado en el párrafo anterior: hacemos el universo más grande.

Estoy simplificando un poco, hay algunas sutilezas juego, y muchos de estos obstáculos se pueden evitar utilizando algunos trucos ingeniosos, pero en general correcto clases no son importantes, ni es lo que sucede muy a menudo si usted no está realmente en busca de ellos. Si usted quiere realmente grande de objetos, que estaría mejor suponiendo que haya una lo suficientemente grande fuertemente inaccesible cardenal y de trabajo en un universo restringido. Que hace que por mucho menos de una ontológica, dolor de cabeza, y realmente no le hará perder nada de interés, por lo que puedo contar.