Me preguntaba si había una "fórmula" o una "identidad" de $\cos(x^2)$, como lo hay para $\cos(2x)$. Mi pregunta está estrechamente relacionado con esto , que sólo estaba pidiendo $\cos(ab)$. Por ejemplo, $$\cos(x^2)= \frac{\cos^3(x)+\sin^3(x)}{2\cos^2(x)+2016}$ $ podría ser una fórmula.
Más precisamente, me gustaría saber si la función $f : x \mapsto \cos(x^2)$ pertenece a $F = \Bbb R(\cos, \sin)$.
Aquí, el espacio de $F$ denota la función racional de la forma $$x \mapsto \frac{P(\cos(x), \sin(x))}{Q(\cos(x), \sin(x))}$$ where $P, Q \in \Bbb R[X,Y]$ and $Q(\cos(x), \sin(x))≠0$ for all real number $x$.
Mi conjetura es que no y aquí es por qué : gracias a su parcial de la fracción de descomposición, cada función racional tiene una primitiva. Haciendo algunos tangente de la mitad de ángulo sustituciones, uno puede ver que todos los $g \in F$ tiene una explícita primitivo (si no me equivoco).
Pero mi función $f : x \mapsto \cos(x^2)$ por encima no tiene elemental primitiva. Creo que esto puede ser demostrado gracias al teorema de Liouville.
¿Mi razonamiento es correcto ? ¿Tienes más fácil el argumento (o contra-argumento) ?
Cualquier comentario será apreciada !
