¿Puede ser cero la distancia entre dos conjuntos cerrados?

Question

Se da un espacio métrico $(M, d)$. Sea $A\cap B = \emptyset; \,\,\text{dist}(A,B):=\inf\{d(x,y):x\in A, y\in B\}$. $A, B$ son conjuntos cerrados. ¿Es posible que $\text{dist}(A,B)=0$?

La primera idea que viene a la mente es que obviamente $\text{dist}(A,B)>0$, pero posiblemente existan algún $d$ y $A, B$ complicados para los cuales eso no sea cierto.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Pista: En $\Bbb R^2$ considera los ejes y la gráfica de $y=\frac1x$.

Es un poco más difícil en $\Bbb R$, pero se puede hacer. Sea $\langle \epsilon_n:n\in\Bbb Z^+\rangle\to 0$, donde cada $\epsilon_n\in(0,1)$. Sea $A=\Bbb Z^+$ y $B=\{n+\epsilon_n:n\in\Bbb Z^+\}$.

Answer 2

El OP ha añadido información adicional, especificando que los conjuntos cerrados y disjuntos.
la respuesta a continuación ya no aplica.

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Puede ser que $A$ y $B$ se crucen en un punto $x$, en cuyo caso $d(x, x) = 0.$

Por ejemplo: supongamos que tenemos los intervalos cerrados $A \subset \mathbb{R}, B \subset \mathbb{R}$, con: $A = [0, 1],\;\; B = [1, 2]$.

Entonces $x = 1 \in A, y = 1 \in B$, y $d(x, y) = 0$.

Answer 3

Ok Se ha dado la respuesta. Pero me gustaría señalar que la suposición correcta para asegurar que la distancia sea estrictamente positiva es que uno de los conjuntos sea compacto, digamos:

Sea $(M,d)$ un espacio métrico, $A$ un subconjunto compacto y $B$ un subconjunto cerrado. Si $A\cap B=\emptyset$ entonces $d(A,B)>0$.

Pista: Procede por contradicción, si $d(A,B)=0$ entonces $d(x_n,y_n)\rightarrow 0$ Supongamos (extrayendo una subsecuencia) que $x_n\rightarrow x$ con $x\in A$. Luego muestra (con la desigualdad triangular) que $d(x,B)=0. Entonces es fácil mostrar, dado que $B$ es cerrado, que $x\in B.