Una pregunta sobre Hartshorne III 12.2

Question

En Hartshorne III 12.2, $X\to \text{Spec}\ A$ es un morfismo, $\mathcal{F}$ es una gavilla coherente en $X$ , plano sobre $\text{Spec}\ A$ , $M$ cualquier $A$ entonces podemos construir la gavilla asociada a la preseaf $\mathcal{F}\otimes_A M$ . Pero según la última línea de esa página, esta gavilla debería ser una gavilla. No sé por qué se mantiene?

Para mostrar el presheaf $U\mapsto\mathcal{F}(U)\otimes_AM$ es una gavilla, es equivalente a mostrar

$0\to \mathcal{F}(U)\otimes_AM\to \Pi \mathcal{F}(U_i)\otimes_AM\to\Pi \mathcal{F}(U_i\cap U_j)\otimes_AM$ es exacta, donde $\{U_i\}$ es una cobertura arbitraria de $U$ .

Si $M$ es un piso que se mantiene, pero ¿qué pasa si $M$ no es plana?

Answer 1

Dado que estamos evaluando la cohomología de las láminas en $X$ la notación $\mathscr F\otimes_A M$ debe ser la abreviatura de una gavilla en $X$ ¡! Mi opinión es que $\mathscr F\otimes_A M := \mathscr F\otimes_{\mathscr O_X} f^\ast\widetilde{M}$ se define como el producto tensorial de $\mathscr F$ con el retroceso de $\widetilde M$ a lo largo del mapa $f\colon X\to Y = \operatorname{Spec}(A)$ .

De hecho, en El libro de Liu aplicando la proposición 1.14(b) de la p. 163, encontramos que para cualquier abierto afín $U\subseteq X$ tenemos $$f^\ast\widetilde M\rvert_U \cong \widetilde{\left(M\otimes_A\mathscr O_X(U)\right)}$$ después de la configuración $\mathscr G$ para ser la gavilla de retroceso, y $V = Y$ . Esto implica que $f^\ast\widetilde M(U) = M\otimes_A\mathscr O_X(U)$ . Además, combinando esto con la proposición 1.12(b) de la página anterior, encontramos que $$\left(\mathscr F\otimes_{\mathscr O_X} f^\ast\widetilde{M}\right)(U) \cong \mathscr F(U)\otimes_{\mathscr O_X(U)}\left(M\otimes_A\mathscr O_X(U)\right) = \mathscr F(U)\otimes_AM$$ que muestra que $\mathscr F\otimes_A M$ (tal y como se define en las aperturas afines) es realmente la gavilla $\mathscr F\otimes_{\mathscr O_X} f^\ast\widetilde{M}$ . El último truco es darse cuenta de que esta última gavilla es una gavilla, ¡por definición! Es decir $\mathscr F\otimes_{\mathscr O_X} f^\ast\widetilde{M}$ es la sheafificación de la preseaf enviando $U\mapsto\mathscr F(U)\otimes_{\mathscr O_X(U)} f^\ast\widetilde{M}(U)$ como menciona Hartshorne al principio de su sección II.5. El hecho de que juegue bien con la evaluación en conjuntos abiertos afines nos permite proceder con los argumentos sobre la cohomología de Cech en un afín cobertura abierta de $X$ .