Tengo una desigualdad de la forma $$a^k +b^k \leq c$$ with $ a, b, c, k \in\mathbb{Z^+}$. For known $a,b,c$ I want to find out the largest $k$ para que esta desigualdad tiene. Soy capaz de escribir un programa que hace esto por mí, pero no puede venir para arriba con cualquier forma inteligente de hacerlo analíticamente. ¿Hay una buena manera de hacer esto?
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afarnham
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Sin pérdida de generalidad, que $b > a$. Tenga en cuenta que
$$b^k \leq a^k + b^k \leq 2 b^k$$
Así que si quieres que $a^k + b^k \leq c < a^{k+1} + b^{k+1}$, entonces se sigue que
$$b^k \leq c < 2 b^{k+1}$$
O, equivalente,
$$k \leq \log_b(c) < k + 1 + \log_b(2)$$
Encontrar el valor correcto de $k$ debería ser fácil ahora. Si $a = b = 1$ el problema es trivial, mientras que $b \geq 2$ $\log_b(2) \leq 1$ tiene que
$$k \leq \log_b(c) < k + 2$$
Como los valores sólo integrales de $k$ satisfacción de esta relación son $k = \lfloor \log_b(c) \rfloor$ y $k = \lfloor \log_b(c) \rfloor - 1$, solo es necesario comprobar estos dos valores como posibles soluciones.
Supongamos que $1< b$ y que $a\leq b$. Entonces en todos los casos cualquiera tenemos $$k=\lfloor\log_b c\rfloor$$ or $$k=\lfloor\log_b c\rfloor-1.$$ Here is the justification: Certainly $\lfloor\log_b c\rfloor$ is an upper bound for $k$. Now, since $a^k+b^k\leq 2b ^ k\leq b^{k+1}$ for all positive $k$ we see that $\lfloor\log_b c\rfloor-1$ es un límite inferior.
Aviso que ambos casos son posibles también. Que $c=65$ y que $a=2$, $b=4$. Entonces $k=2=\lfloor\log_b c\rfloor-1$. Por otra parte, que $b=4$, $a=2$ y $c=63$. Entonces el % máximo $k$es $k=2$ $\lfloor\log_b c\rfloor$.
Espero que ayude,
