Producto tensorial y compositum de campos

Question

Sea $E/k$ , $F/k$ sean dos extensiones de campo arbitrarias de $k$ . Mi pregunta es:

1. ¿Existe una extensión de campo $M/k$ s.t. $E/k$ , $F/k$ son subextensiones de $M/k$ ? Alternativamente, ¿podemos hablar de campos compositum sin suponer un campo mayor?

2. Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, ¿podemos construir tal $M/k$ explícitamente (por producto tensorial, producto directo, localización, cociente, etc.)?

3. ¿Es el $k-$ álgebra $E\otimes_k F $ ¿nunca el anillo cero?

Answer 1

Como parece haberse dado cuenta, el concepto de compositum es un poco problemático si no trabajamos dentro de un campo más amplio. De todos modos, aquí van algunas respuestas rápidas y sucias:

1+2) Sí (hasta la identificación). El producto tensorial $E\otimes_k F$ es una conmutativa $k$ -álgebra. Si $I$ es un ideal maximal allí (recurra al lema de Zorn para obtener la existencia), entonces $M=E\otimes_k F/I$ es un campo. Las correspondencias $e\mapsto e\otimes 1 +I$ y $f\mapsto 1\otimes f +I$ son entonces homomorfismos de $k$ -y, por tanto, inyectivas (hay que comprobar muchos detalles aquí). Por tanto, podemos identificar sus imágenes con $E$ y $F$ respectivamente. Sin embargo, la elección de $I$ puede marcar la diferencia. Por ejemplo, si $E$ y $F$ son isomorfas (piensa: $\mathbf{Q}(\root 3\of 2)$ y $\mathbf{Q}(\omega\root3\of2)$ , $\omega=(-1+i\sqrt3)/2$ ), entonces sus imágenes son iguales para una elección adecuada de $I$ pero puede intersecarse trivialmente por otro.

[Edición: Es posible que las imágenes de $E$ y $F$ nunca se intersecan trivialmente. En mi caso de ejemplo se produce una intersección trivial, pero evidentemente no siempre. Perdón por la posible confusión que haya podido crear este error en la versión original].

3) No. Esto no ocurre nunca. El producto tensorial de dos espacios vectoriales no triviales nunca es cero. Se obtiene una base para el producto tensorial a partir de tensores elementales pareados de elementos base de los espacios factoriales. Cuando modulamos un ideal maximal como arriba, se pueden introducir o no algunas dependencias lineales (el ideal puede ser cero).

Answer 2

Consideremos el producto tensorial $A=E\otimes _kF$ .

a) La $k$ -álgebra $A$ es distinto de cero porque cualquier elección de bases $(e_i)_{i \in I}$ de $E$ y $(f_j)_{j \in J}$ de $F$ dará una base $(e_i \otimes f_j)_{(i,j) \in I\times J}$ de $A=E\otimes _kF$ ( Esto responde a su pregunta 3.)

b) El conjunto $Spec(A)$ de ideales primos del anillo distinto de cero $A$ es, por tanto, no vacío.
Consideremos un ideal primo $P \subset A$ el cociente $A/P$ y el campo de fracción $k(P)=Frac(A/P)$ .
La composición de $k$ -morfismos $E \to A=E\otimes _k F \to A/P \to k(P) $ es necesariamente inyectiva (ya que $E$ es un campo) y presenta $k(P)$ como una extensión de $E$ . Del mismo modo $k(P)$ es canónicamente una extensión de $F$ . Y finalmente $k(P)$ es un compositum de $E$ y $F$ . (Esto responde a su pregunta 2. y a parte de su pregunta 1. Para el resto de 1. véase c) más abajo)

c) Cada compositum de las extensiones $E,F$ de $k$ se obtiene (hasta isomorfismo) por el procedimiento anterior aplicado a un primo adecuado $P\in Spec(A)$ . Además, diferentes primos producen extensiones no isomorfas. Así que $Spec(A) =Spec(E\otimes _kF)$ clasifica exactamente las clases de isomorfismo de composita de $E$ y $F$ . En particular, puesto que $Spec(A)$ tiene en general más de un elemento, no tiene sentido hablar del compositum de $E$ y $F$ en abstracto, es decir, si $E$ y $F$ no se dan como subcampos de alguna extensión de $k$ . (Esto responde al resto de tu pregunta 1.)

d) Una paráfrasis de lo anterior es que hemos descrito el conjunto subyacente al esquema afín $Spec(E\otimes _k F)$ . Más en general, la descripción en c) es el punto clave en la descripción del conjunto subyacente al producto fibra $X\times _S Y$ de dos esquemas arbitrarios $X,Y$ sobre un esquema arbitrario $S$ .

Addendum: ¿qué es un compositum?
Dadas dos extensiones de campo $k\to E, k\to F$ Permítanme explicar en términos elementales (es decir, sin productos tensoriales) qué es un compositum de estos.
Son los datos de una ampliación de campo $k \to K$ y de un par de $k$ -morfismos ( $E\to K, F\to K$ ), con la condición de que la unión de las imágenes de $E$ y $F$ en $K$ generar (¡en el sentido de campo!) el campo $K$ . Un isomorfismo de dos extensiones de este tipo es un isomorfismo $K\to K'$ de $k$ -extensiones que hacen que los diagramas obvios conmuten.
El punto clave a tener en cuenta es que la ampliación $k\to K$ solo hace no determinar el compositum.
Esto queda perfectamente ilustrado por el intercambio entre Matt y Pierre-Yves en los comentarios, donde ( ¡un poco confusamente!) las tres extensiones $E,F,K$ de $k=\mathbb R$ son la inclusión $k=\mathbb R \to K=\mathbb C$ y tienen dos composita con el $same$ extensión $k\to K$ que, sin embargo no isomórfico : esto es posible porque las compuestas tienen diferentes pares de $k$ -morfismos ( $E\to K, F\to K$ ) en sus datos.