Se puede aplicar un enfoque común se conoce como el espectro de rebanar. Suponga que $M$ es un Hermitian matriz factorizada como
$$\tag{1}M=LDL^*$$ (a complex variant of the $LDL^T$ factorisation), where $L$ is unit lower triangular and $D$ diagonal. The inertia (the number of negative, zero, and positive eigenvalues) of $M$ and $D$ is the same and since $D$ is diagonal, you can get the inertia of $M$ pretty easily.
Now fix a $\sigma\in\mathbb{R}$. The eigenvalues of $M-\sigma I$ (where $I$ is the identity matrix) are the eigenvalues of $M$ minus $\sigma$. Considere la posibilidad de la factorización
$$
M-\sigma I=L_{\sigma}D_{\sigma}L_{\sigma}^*.
$$
Tanto en $M-\sigma I$ $D_{\sigma}$ tiene de nuevo la misma inercia de modo que, por ejemplo, el número de negativos en las entradas de la diagonal de a $D_{\sigma}$ determina el número de valores propios de a $M$ menor que $\sigma$.
En tu caso, ya que usted sabe que el espectro de $M$ está contenida en el intervalo de $[-1,1]$, se deben realizar sólo dos factorisations para determinar cuántos valores propios están contenidas en los intervalos de $[-1,-\alpha)$ $(\alpha,1]$ algunos $\alpha\in(0,1)$. En particular,
$$
M+\alpha I=L_+D+L_+^*, \quad\text{y}\quad M-\alpha I=L_-D_-L_-^*.
$$
Entonces, el número de negativos diagonal entradas en $D_+$ le da el número de autovalores de a $M$ menor que $-\alpha$ {es decir, en el intervalo de $[-1,-\alpha)$} y el número de resultados positivos de las entradas de la diagonal de a $D_-$ da el número de autovalores de a $M$ mayor que $\alpha$ {es decir, en el intervalo de $(\alpha,1]$}.
En MATLAB, la factorización usted busca está implementado en la función ldl.
En realidad, también se podría usar eigs a calcular, dicen, $k$ autovalores de mayor magnitud (es decir, cerca de los límites del intervalo de $[-1,1]$) y comprobar si el resultado te dio un autovalor con una magnitud menor que $\alpha$ con ambos signos). Si es así, entonces el resultado de eigs contiene todos los autovalores de a $[-1,-\alpha)$ $(\alpha,1]$ además de algunos valores fuera de estos intervalos. Si este criterio no se cumple, es necesario aumentar la $k$. Por supuesto, esto puede ser bastante costoso, especialmente si los autovalores se agruparán en torno a $-1$ $1$ lo cual requeriría el uso relativamente alto $k$.
P. S.: La matriz $D$ generalmente no es diagonal, pero el bloque diagonal con $1\times 1$ $2\times 2$ bloques. Aún así, los autovalores de a $D$ (y, por tanto, los signos que importa aquí) pueden obtenerse fácilmente.
