Encontrar patrones de $x^n$

Question

Me di cuenta el otro día, mientras que la computación consecutivos poderes de $2$ que $n \geq 1$, los números en el lugar de las unidades de los valores de $2^n$ repetir cada 4 términos de $(2, 4, 8, 6,\ldots)$. En el lugar de las decenas, obtenemos una repetición cada 20 términos de $n \geq 4$ (el primer término con un valor en el lugar de las decenas). En los cientos lugar, una repetición de cada 100 por $n \geq 7$. Los valores en el lugar de los millares repetir cada 500 términos de $n \geq 10$.

Así, por $2^n$, el patrón de la $10^k$ lugar de repetir cada $4\cdot5^k$ términos de $n \geq 1+3k$

¿Qué es esta llamada? Es allí una manera de generalizar para todos los $x^n$?

Answer 1

Cuando se tiene un conjunto finito $S$, un mapa de $f:\ S\to S$ y un valor inicial $a_0\in S$, a continuación, la secuencia de $(a_n)_{n\geq0}$ forma recursiva definida por $$a_{n+1}:=f(a_n)\qquad(n\geq0)\tag{1}$$ eventualmente se convertirá en periódico: Después de que en la mayoría de las $|S|$ pasos de la recursión producir un número que has visto antes, y a partir de entonces el procedimiento se repetirá periódicamente.

Ahora se le da un $m>1$ los posibles restos de los enteros modulo $m>0$ forma un conjunto finito $S$, y la multiplicación por $2$, es decir,$$\tilde f:\quad{\mathbb N}\to{\mathbb N}, \quad k\mapsto 2k\ ,$$ acts exactly like $(1)$ on these remainders. The remainder modulo $10^ r$ of a natural number $k$ is plainly visible in the last $r$ digits of the decimal representation of $k$. It follows that beginning with an arbitrary $a_0$ the last $r$ digits of the numbers $a_n:=2^n a_0$ will eventually become periodic with a period length $\leq 10^r$.