El span de un conjunto vacío es el vector cero

Question

Estoy leyendo el libro de Nering sobre Álgebra Lineal y en la sección de espacios vectoriales hace el comentario: "También estamos de acuerdo en que el conjunto vacío abarca el conjunto que consiste únicamente en el vector cero".

¿Está Nering definiendo el conjunto abarcado por el conjunto vacío como el conjunto que contiene al vector cero o es algo que se puede demostrar a partir de la definición de abarcado? Tengo la sensación de que es lo segundo, pero la prueba parece un poco complicada ya que estarías diciendo que {0} = Abarcado del conjunto indexado de vectores en el conjunto vacío. Pero dado que el conjunto vacío no tiene vectores, no me queda claro cuál sería su abarcado.

Answer 1

Dependiendo de cómo se defina el span, esto es o bien una definición o se desprende de la definición del span (y a juzgar por el lenguaje probablemente es lo primero). ¿Cuál es la definición de span de Nering?

(Una definición de span es la siguiente: el span de una colección de vectores es la intersección de todos los subespacios que los contienen. El span de ningún vector es por lo tanto la intersección de todos los subespacios, que es $\{ 0 \}$.)

Answer 2

El espacio de un conjunto D es el subespacio más pequeño que contiene los elementos de D. Ahora, todo subespacio contiene 0. Por lo tanto, si D es un conjunto nulo, el espacio de D solo puede ser el subespacio que contiene 0.

Answer 3

Es porque Dim({0}) = 0.

La dimensión de un espacio vectorial se refiere al número mínimo de vectores base que abarcan este espacio vectorial.

Dado que Dim({0}) se define como 0, a partir de la definición de dimensión concluimos que {0} puede ser abarcado por 0 vectores base; es decir, debemos definir el span del conjunto vacío como {0} para que nuestra definición de dimensión funcione.

"En el contexto de los espacios vectoriales, el span de un conjunto vacío se define como el espacio vectorial que consiste solo en el vector cero. A veces esta definición es necesaria por razones técnicas para simplificar la exposición en ciertas demostraciones."

Answer 4

Al mirar el problema desde una perspectiva programática, si alguna vez quisiera representar (o tal vez generar) el espacio de un conjunto de vectores utilizando la definición de combinaciones lineales de vectores. Siempre comenzaría con una variable de suma que se iguala a cero y luego seguiría agregando a la suma de forma iterativa.

Si el conjunto estuviera vacío, el script devolvería el vector cero.

Entonces, El espacio de un conjunto vacío es el vector cero, tiene cierto sentido.

Answer 5

El espacio lineal de un conjunto vacío, es decir, L(0), se toma como el conjunto (O), esto es confuso porque L(0) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de 0, pero para hacer una combinación lineal necesitamos tener al menos un vector del conjunto y el conjunto vacío no contiene ningún vector en él. Por lo tanto, debería haber sido 0 y no (O).

Por otro lado, si es posible, dejemos que L(0) sea un conjunto distinto de (O). Entonces, este* contiene al menos un elemento no nulo (es decir, un vector de V) que es una combinación lineal de los elementos de 0. Esto nos lleva a una contradicción de que 0 no está vacío. Por lo tanto, se descarta la posibilidad de que L(0) sea distinto de (O).

• o es el propio 0. Ahora, si esta posibilidad se puede descartar, entonces la prueba se vuelve completa. El lector puede comentar al respecto.**