$f'+\lambda f$ actúa como $f'$ sin integral

Question

Problema

Supongamos que $f(x)$ es una función derivable y $f'(x)$ es el derivado de la $f(x)$. Sin sida de la integral, podemos demostrar que $f'(x)+\lambda f(x)$ ha intermedio de la propiedad?

Intermedio de la propiedad

Un (verdadero) la función $f(x)$ tener intermedio de la propiedad significa que si $a,b\in f(\Bbb R)$$a<c<b$, $c\in f(\Bbb R)$ donde $f(\Bbb R)=\{\;f(x):x\in\Bbb R\;\}$

Con el sida de la integral

Deje $g(x)=f'(x)+\lambda f(x)$. Para $f(x)$ es continua, tenemos $f(x)$ es Riemann-integrable. Deje $G(x)=f(x)+\int_0^xf(t)dt$,$G'(x)=g(x)$; por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Darboux a $G(x)$, y lo hemos hecho.

Answer 1

Que $a\lt b$, $g(t)=f'(t)+\lambda f(t)$ y $z$ en el intervalo entre $g(a)$y $g(b)$. Quiere mostrar que existe $x$ $[a,b]$ tal que $g(x)=z$. Si $\lambda=0$, este es el caso habitual. Asumir que $\lambda\ne0$.

Uno puede asumir sin pérdida de generalidad que $g(a)\lt z\lt g(b)$. Considere la función $h$ definidas en $h(t)=\mathrm e^{\lambda t}(f(t)-z/\lambda)$. Entonces $h'(t)= \mathrm e^{\lambda t}(g(t)-z)$, por lo tanto, $h'(a)\lt0\lt h'(b)$. El teorema del valor intermedio generalmente derivados aplicados a $h'$ asegura que el $h'(x)=0$ $x$ $(a,b)$. Así, $g(x)=z$.