Son vectores covariantes representable como vectores fila y contravariante como vectores columna

Question

Me gustaría saber lo que el rango de validez de la siguiente afirmación:

Covariante vectores son representables como vectores fila. Contravariante los vectores son representables como vectores columna.

Por ejemplo, sabemos que el gradiente de una función es representable como vector de fila en el espacio ordinario $ \mathbb{R}^3$

$\nabla f = \left [ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right ]$

y una ordinaria vector es un vector columna

$ \mathbf{x} = \left[ x_1, x_2, x_3 \right]^T$

Creo que esto sigue siendo válido en la teoría especial de la relatividad (métrica de Minkowski es plana), pero no estoy seguro acerca de que en la relatividad general.

¿Me pueden brindar algunos ejemplos?

Answer 1

Sí, la proposición es verdadera en la relatividad general también. Sin embargo, a medida que se necesita para lidiar con los tensores de los mayores y, en particular, la orden mezclada, las reglas de la multiplicación de la matriz (que es donde la idea de la representación a través de fila y de columna vectores proviene) no son lo suficientemente poderosas:

En su lugar, la colocación del índice determina si estamos tratando con un contravariante (superior índice) o una covariante (índice inferior) cantidad.

Además, por convención, un índice que se produce en un producto en la parte superior e inferior de la posición obtiene contratado, y las ecuaciones deben mantener para todos los valores de la libre índices.

Si la métrica es no-Euclidiana (que ya es cierto en especial de la relatividad de einstein), la asignación entre los co - y contravariante cantidades es más complicado que la simple transposición y los valores reales de los componentes en una base puede cambiar, por ejemplo: $$ p^\mu = (p^0,+\vec p)\\ p_\mu = (p^0,-\vec p) $$ y en general: $$ p_\mu = g_{\mu\nu}p^\nu $$ donde $g_{\mu\nu}$ denota el tensor métrico y una suma $\nu=1\dots n$ es implícita.

Answer 2

Es significativo, en general, a pesar de que es una cuestión de convención, no de la verdad. Pero nunca conduce a resultados incorrectos si se hacen de este convenio.

Esto es discutido a fondo en la entrada "¿Cómo son las matrices y tensores relacionados?" del Capítulo B8: la gravedad Cuántica de mi física teórica de preguntas frecuentes en la http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html

Tenga en cuenta que en el análisis multivariante que generalmente se define el gradiente es la transpuesta de la (exterior), derivado, por lo que "gradiente" y "derivado" son un poco diferentes nociones. La transposición sólo tiene sentido dado una métrica, ya que esencialmente consiste en la sustitución de elevar o bajar los índices por bajar o levantar.

Por lo tanto, a diferencia de una covariante exterior derivado, un gradiente ya no es covariante pero contravariante (y, por tanto, un vector columna).

Answer 3

Esta no es una respuesta completa, sino más bien un intento de aclarar algunos conceptos equivocados acerca de la pendiente: En particular, en mi opinión diciendo que el gradiente es un covector no tiene mucho sentido.

Hay dos maneras de interpretar el concepto de vectores y covectors:

La primera es decir que existe una única entidad - vector - que ha covariante y contravariante de los componentes. Este está inspirado en el tensor de cálculo: al hacer los cálculos, que a menudo no se preocupan acerca de la colocación de los índices de un particular tensor - después de todo, siempre se puede bajar o subir (es decir, ir de la columna de vectores vectores fila y viceversa) por la contracción con el tensor métrico.

Si usted toma este punto de vista, la diferencia y el gradiente son dos nombres para la misma entidad. Es un poco engañoso decir que el gradiente es un covector, como lo que realmente queremos decir es que el gradiente es un vector cuyos componentes covariantes son dadas por las derivadas parciales (mientras que su contravariante componentes están dados por la contracción de los componentes covariantes con la inversa del tensor métrico).

El segundo punto de vista - que es la que yo prefiero es la de que los vectores (o, más precisamente, como estamos haciendo la geometría diferencial, la tangente vectores) son distintos de covectors (también conocido como 1-formas). Sin embargo, el producto escalar da un isomorfismo entre tangentes y vectores de 1-formas. El gradiente es la (pre-)la imagen de la diferencial en virtud de este isomorfismo y un vector real.

Answer 4

Desde mi experiencia, he tenido tiempo muy difícil de entender la "física" de la diferencia entre las contraindicaciones y cov - cosas, realmente me entiende sólo cuando leí la geometría diferencial e involucrarse con las formas, aún más, algunos autores (como Shuch) argumentan que es incorrecto decir que Covectors son realmente los vectores, que son diferentes de los objetos, que son una de las formas!