Ordinal máximo incrustado en un conjunto de funciones bajo una eventual dominación

Question

Consideremos el conjunto de funciones de $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ . Podemos imponer un orden parcial a este conjunto diciendo que $f>g$ si $f(n)>g(n)$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Mediante un argumento de diagonalización, se puede demostrar que se puede incrustar $\omega_1$ el primer ordinal incontable de este Poset. Dado que el conjunto de funciones de $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tiene la cardinalidad de $\mathbb{R}$ está claro que no se puede incrustar $\omega_2$ si la hipótesis del continuo es cierta. En general, ¿cuál es el ordinal más pequeño que no se puede incrustar? En particular, ¿existe una incrustación de $\omega_1+1$ ¿en general?

Answer 1

El ordinal más pequeño es $\omega_2$ . No quiero teclear mucho, así que te daré una excelente referencia: Problema 24, Capítulo 11, P. Komjath y V. Totik - Problemas y teoremas en la teoría clásica de conjuntos.