En el Liouville-teorema de Arnold

Question

Un sistema es completamente integrable (en el sentido de Liouville) si no existe $n$ Poisson desplazamientos primera de las integrales. El Liouville-teorema de Arnold, de todos modos, se requiere más topológico condiciones para encontrar una transformación que lleva a la acción-ángulo de coordenadas y, en este conjunto de variables, el Hamilton-Jacobi ecuación asociada al sistema es completamente separable de modo que es solucionable por cuadraturas.

Lo que me gustaría entender es que si el requisito adicional de la Liouville-Arnold teorema (la existencia de un pacto a nivel de conjunto de la primera de las integrales en la que la primera de las integrales son mutuamente independientes) significa, en la práctica, que un problema con una desenfrenada órbita no es tratable con esta técnica (por ejemplo, el problema de Kepler con trayectoria parabólica).

Si es así, ¿qué hay de una aproximación general a los sistemas que han $n$ primer integrales pero no cumplen con los demás requisitos de Arnold-teorema de Liouville? Están siendo integrable en alguna manera?

Answer 1

Vamos $M= \{ (p,q) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^n \}$ ($p$ denota las variables de posición y $q$ el correspondiente momenta variables). Suponga que $f_1, \cdots f_n$ $n$ desplazamientos primera de las integrales, a continuación, se puede conseguir que la $M_{z_1, \cdots, z_n} := \{ (p,q) \in M \; : \; f_1(p,q)=z_1, \cdots , f_n(p,q)=z_n \} $ $z_i \in \mathbb{R}$ es una de Lagrange submanifold.

Observar que si la compacidad y conexión condición se cumple, entonces no existe acción ángulo de variables que significa que el movimiento se encuentra en un $n$-dimensiones toro (que es un objeto compacto).

La compacidad condición es equivalente a que una posición variable, $p_k$, o un impulso variable, $q_j$, no pueden quedar sin límites fijos $z_i$. En consecuencia, si la compacidad condición no se cumple no hay manera que usted puede esperar para encontrar la acción ángulo de variables, ya que la acción de ángulo variable implica que el movimiento se encuentra en un toro que es un objeto compacto.