Ayuda con Serre espectral de secuencias

Question

Estoy trabajando a través de Hatcher inacabado libro Espectral de las Secuencias en la Topología Algebraica y me he encontrado atascado en el Ejercicio 2 de la página 23:

Calcular la Serre espectral de la secuencia de homología con $\mathbb{Z}$ los coeficientes para el fibration $K(\mathbb{Z}_2,1) \rightarrow K(\mathbb{Z}_8,1) \rightarrow K(\mathbb{Z}_4,1).$

La pregunta es para comparar con el Ejemplo 1.6 en el texto (un cálculo similar), pero cuando trato de escribir las primeras páginas, no veo nada parecido a un patrón agradable. Hay algo que me falta?

Answer 1

Sería agradable ver lo que tenemos para el a $E_2$página. En primer lugar, tenga en cuenta que $K(\mathbb{Z}/m,1)$ es sólo una de infinitas dimensiones de la lente de espacio. Sabemos (páginas 146 de Hatcher - Topología Algebraica) que estos tienen homología $$H_i(K(\mathbb{Z}/m,1)) = \begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ for } i=0 \\ \mathbb{Z}/m &\text{ for } i \text{ odd} \\ 0 &\text{ for } i \text{ even.} \\ \end{casos} $$

Por lo tanto, podemos calcular el $E_2^{p,q} = H_p(K(\mathbb{Z}/4,1),H_q(K(\mathbb{Z}/2,1)))$. Tenga en cuenta que debido a que todo desaparece, incluso en las dimensiones de nuestra $E_2$plazo parece similar a la espectral de la secuencia dada en el Ejemplo 1-6, excepto que ahora tenemos $\mathbb{Z}/4$'s en la fila $q=0$ (e $n \ne 0$).

Una vez que hemos calculado el $E_2$-término que ahora se necesita para resolver las diferencias. De nuevo una metodología similar a la del ejemplo en Hatcher ahora funciona. Por ejemplo hay un $\mathbb{Z}/2$ $n=2$ diagonal, que deben ser asesinados. Sólo hay un camino posible para matar a este, y es que para que exista un mapa de $d_2:E_2^{3,0} = \mathbb{Z}/4 \to E_2^{1,1} = \mathbb{Z}/2$. Esto deja un $\mathbb{Z}/2$ $(3,0)$ posición - pero esto es bueno, porque entonces esto nos deja con tres $\mathbb{Z}/2$'s de la $n=3$ diagonal, que es donde se obtiene el $\mathbb{Z}/8$ necesitamos en la homología.

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