Sobolev espacio cerrado subconjunto de la recta real

Question

Donde quiera que mire en la literatura, espacios de Sobolev se definen en un subconjunto de la recta real. ¿Cuáles son los problemas técnicos con la definición de un espacio de Sobolev en un subconjunto cerrado, es decir, ¿hay problemas en la frontera, y ¿alguien sabe de alguna buena referencias que cubren esta?

Mi propósito principal es demostrar $H^1([0,T];\mathbb{R}) = \{ x \en L^2([0,T];\mathbb{R}) : ||x'||_{L^2} + \gamma^{2}||x||_{L^2} < \infty \}$ is a reproducing kernel Hilbert space. I can do this for $(0,T)$ and want to know if the proof is transferable to the case of the closed interval $[0,T]$.

Muchas gracias,

Mateo.

Answer 1

Bueno, sospecho que define el espacio de Sobolev en el cierre de intervalo como el uno en el intervalo abierto (es decir, utilizando la misma ecuación funcional de tomar la prueba de las funciones de $\mathscr{C}^{\infty}_0((0,T))$) y, a continuación, extender cada función de ella por la elección arbitraria de valores en la frontera.

En ese caso $H^1((0,T))=H^1([0,T])$ y que el problema es de poco interés, ya que cada función de $W^{1,1}((0,T))$ es también continuar en el intervalo cerrado $[0,T]$ (es decir, no admitir límite finito en el límite). Así que usted puede aplicar, por el límite, la misma técnica utilizada en el caso de que el intervalo abierto $(0,T)$ (por ejemplo, mediante la continua inclusión de $W^{1,1}(I)$$L^{\infty}(I)$).

De todos modos, creo que la principal razón de que más allá de definir el espacio de Sobolev en abrir conjuntos radica en esto: $\mathscr{C}^{\infty}_0(\bar{I})=\mathscr{C}^{\infty}(\bar{I})$.