aislado no normal de la superficie de la singularidad

Question

Estoy buscando un aislado no-normal singularidad en una expresión algebraica de la superficie. Un ejemplo evidente se me ocurre: la unión de dos $2$-dimensiones afín subespacios de $\mathbb{A}^4$, que se reúnen en un punto. Pero esto que parece "engaño". Alguien puede proporcionar una irreductible ejemplo?

Answer 1

Si $k$ es un campo y $A=k[x,xy,y^2,y^3]\subset k[x,y]$, $X=Spec (A)$ es una superficie con $P= (x,xy,y^2,y^3)$ tan sólo (y por lo tanto aislado) singularidad, no normales, porque la $A$ no es normal.
Aquí están algunos detalles:

I) $A$ no es normal porque el $y\in Frac(A)\setminus A$ integral $A$ (satisface $T^2-y^2=0$)
II) Los morfismos $$f:\mathbb A^2_k \to \mathbb A^4_k:(x,y)\mapsto (u=x,v=xy,w=y^2,z=y^3) $$ has as image $X$, the surface $X\subconjunto \mathbb^4_k$ defined by the three equations $$ u^2w=v^2,\: u^3z=v^3, \:w^3=z^2 $$ III) Si la ponemos a $O=(0,0)\in \mathbb A^2_k$$P=(0,0,0,0) \in X\subset \mathbb A^4_k$, los morfismos $f$ restringe a un isomorfismo $f_0:\mathbb A^2_k\setminus \lbrace O \rbrace \stackrel {\cong}{\to} X\setminus \lbrace P\rbrace$.
Su inversa $$f_0^{-1}:X\setminus \lbrace P\rbrace \stackrel {\cong}{\to} \mathbb A^2_k\setminus \lbrace O \rbrace: (u,v,w,z)\mapsto (x,y)$$ is given by: $$x=u \\ y=v/u \;\text {si } u\neq 0 \quad \text {o} \quad y=z/w \; \text {si } w\neq 0$$
Editar
La superficie de la $X$ no es isomorfo a QiL maravillosamente simple ejemplo, ya que la normalización mapa para $X$ es bijective, y no es para QiL de la superficie.
Sin embargo Justin comentarios que mi $A$ puede ser descrito como el anillo de polinomios $f(x,y)\in k[x,y]$ tal que $f_y(0,0)=0$, mientras que QiL requiere de $f(0,0)=f(0,1)$
Me parece que esta analogía muy interesante y estoy agradecido a Justin por haber señaló, ya que no me había dado cuenta del todo.