Demostrar $x + \frac{1}{x} \geq 2$$x>0$.

Question

La prueba de que $x+\frac{1}{x}\geq2$ $x>0$

Podría ser esto correcto?

$x*(x+\frac{1}{x}\geq2)$

$x^2+1\geq2x$

$x^2-2x+1\geq2x-2x$

$x^2-2x+1\geq0$

Enchufe en 1 para x:

$(1)^2-2(1)+1\geq0$

$1-2+1\geq0$

$0\geq0$ Por lo tanto, $x+\frac{1}{2}\geq2$ es cierto para $x>0$

Answer 1

Sabemos de positivo $a,b$, $\frac{ a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $. Poner $ a = x^2 $ $b = 1$ y obtenemos

$$ x + \frac{1}{x} \geq 2 $$

Añadido: también puede utilizar el cálculo: Poner $f(x) = x + \frac{1}{x} $. tenemos $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} $ con valores críticos (puntos donde la $f'$ desaparece ) : $x=\pm1$. Es fácil ver que $x = 1 $ proporcionará un mínimo global. Por lo tanto $f(x) \geq f(1) $ todos los $x > 0 $. De ello se sigue que $$ x + \frac{1}{x} \geq 2 $$

Answer 2

$$(x-1)^2\geq 0\\ \Longrightarrow x^2-2x+1\geq 0\\ \Longrightarrow x^2+1\geq2x$$ Then we assume $x$ is positive and divide by $x$. $$\Longrightarrow x+\frac1{x}\geq 2$$ See if you can prove it for negative $x$ and the case where $x=0$ then see if you can prove $$(x-1)^2\geq 0$$

Answer 3

Sugerencia: Usted tiene que probar que 1 es el mínimo de la función.

Answer 4

La prueba por contradicción:

Asumir que la hipótesis es errónea. Por lo tanto, $ \exists\ x \gt 0 $ tales que; $$ x + \dfrac{1}{x} \lt 2 $$

Ahora, siga a lo largo de:

$$\begin{align} x + \dfrac{1}{x} &\lt 2 \\ x^2 + 1 &\lt 2x \tag{%#%#%} \\ x^2 - 2x + 1 &\lt 0 \\ (x - 1)^2 &\lt 0 \end{align}$$ lo cual es una contradicción como un cuadrado perfecto, nunca puede ser negativo para los números reales.