¿Cómo resolver esta integral $\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{11-6\,x}{4\,\sqrt{21}}\mathrm dx$?

Question

Necesito resolver la siguiente integral: $$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{11-6\,x}{4\,\sqrt{21}}\mathrm dx.$$

Traté de esta integral en Mathematica, pero no fue capaz de resolverlo. Un aproximado de integración numérica da $1.6449340668482264364724151666460251892189...$ que es cercano a los $\frac{\pi^2}6$. Pero cuando traté de aumentar la precisión por encima de los 60 dígitos decimales, empecé a ver una pequeña diferencia, que podría ser interpretado como un algoritmo numérico glitch, o como $\frac{\pi^2}6$ ser sólo un cerrar accidentalmente valor y no se la respuesta exacta. De hecho, $\frac{\pi^2}6$ sería un sospechosamente buen resultado de esta integral. De todos modos, necesito su ayuda con esto.

Answer 1

Creo que la mayoría de enfoque ecológico para el problema es el siguiente:

1. Denotar $x=\sin\varphi$ y recordar que $\arctan x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+ix}{1-ix}$. Uno, a continuación, obtiene la integral $$\frac{1}{2i}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\ln\frac{4\sqrt{21}+i(11-6\sin\varphi)}{4\sqrt{21}-i(11-6\sin\varphi)}d\varphi=\frac{1}{4i}\int_{0}^{2\pi}\ln\frac{4\sqrt{21}+i(11-6\cos\varphi)}{4\sqrt{21}-i(11-6\cos\varphi)}d\varphi,\tag{1}$$ donde en el último paso se utilizó por primera vez la simetría de la función seno para extender la integración a intervalo $[-\pi,\pi]$ y, a continuación, hizo uso de la periodicidad para cambiar el intervalo de integración, y para sustituir a $\sin$ $\cos$.

2. Hay un conocido integral (véase, por ejemplo, aquí) $$\int_{0}^{2\pi}\ln\left(1+r^2-2r\cos\varphi\right)d\varphi=\begin{casos} 0, &\text{para}\; |r|<1,\\ 2\pi\ln r^2, &\text{para}\; |r|>1. \end{casos}\etiqueta{2}$$ Obviamente, nuestra integral anterior es una diferencia de dos integrales de este tipo. Se debe tener cierto cuidado sobre multivaluedness de los logaritmos. Esto puede ser manejado por decir que los argumentos de $4\sqrt{21}\pm i(11-6\cos\varphi)$ pertenecer a $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Ahora tenemos \begin{align} 4\sqrt{21}\pm i(11-6\cos\varphi)=A_{\pm}\left(1+r_{\pm}^2-2r_{\pm}\cos\varphi\right) \end{align} con $$r_{\pm}=\frac{11-4\sqrt7}{3}e^{\pm i\pi/3},\qquad A_{\pm}=(11+4\sqrt7)e^{\pm i\pi /6}.$$ Desde $|r_{\pm}|<1$, la integral (1) se reduce a $$\frac{1}{4i}\cdot2\pi\cdot \ln\frac{A_+}{A_-}=\frac{\pi^2}{6}.$$