$A+B+C=2149$, Encontramos a $A$

Question

En el siguiente formulario de números impares

Si los números

tomado de la forma donde a $A+B+C=2149$

Encontrar $A$

cualquier ayuda se lo agradezco, gracias.

Answer 1

Si $A$ $n^{th}$ fila, a continuación,$B=A+2n$$C=A+2(n+1)$.

Por pereza, vamos a tratar de averiguar qué fila sería necesario para estar en el estadio a través de la estimación. $\frac{2149}{3}\approx 716$, lo $A<716<B<C$. Que fila $715$ a?

Cambiando su figura, algunos por primera añadiendo uno a cada entrada y, a continuación, dividir por dos, vamos a obtener el gráfico de $\left[\begin{array}{}\color{red}{1}\\2&\color{red}{3}\\4&5&\color{red}{6}\\7&8&9&\color{red}{10}\\\vdots\end{array}\right]$, y estos números son muy familiares para nosotros. Los números rojos son el triángulo de números, $T(n)=\binom{n+1}{2}=\frac{n^2+n}{2}$.

Por eso, $T(26)=351<\frac{715+1}{2}=358<378=T(27)$, por lo que suponemos que $715$ se produce en el $26^{th}$ fila, lo que implica que cualquiera de las $A$ está en el $25^{th}$, $26^{th}$, o $27^{th}$ fila (ya que hemos estado calculando hasta este punto).

Así, tratamos de resolver ahora, $A+B+C=2149=A+(A+2n)+(A+2n+2)=3A+4n+2$

En el caso de que $n=25$, esto sería $3A+100+2=2149\Rightarrow 3A=2047\Rightarrow A=\frac{2047}{3}\not\in\mathbb{Z}$, por lo que sabemos que $n=25$ no fue posible.

En el caso de que $n=26$, esto sería $3A+104+2=2149\Rightarrow 3A=2043\Rightarrow A=681$

En el caso de que $n=27$, esto sería $3A+108+2=2149\Rightarrow 3A=2039\Rightarrow A=\frac{2039}{3}\not\in\mathbb{Z}$, por lo que sabemos que $n=27$ no fue posible.

Podemos igualmente muestran que si $n=24$ que conduce a una contradicción así.

Creemos, entonces, que nuestra respuesta es $A=681, B=733, C=735$. Todo lo que queda por comprobar es que $681$ es de hecho en el $26^{th}$ fila para confirmar nuestros cálculos mediante la comprobación de que $T(25)$ es de menos de $\frac{A+1}{2}$ $T(26)$ es mayor que $\frac{A+1}{2}$.

De hecho, $T(25)=325<\frac{681+1}{2}=341<351=T(26)$

Answer 2

$A$ va a ser el $k$th entrada en el $n$th fila, donde $1 \leq k \leq n$. Que hará $B$ $k$th entrada en el $n+1$pt de la fila, y $C$ $k+1$san entrada en el $n+1$pt de la vta.

Así que la primera pregunta es, podemos escribir una fórmula para $A$ en términos de$k$$n$? Si consideramos que la primera entrada en el $n$th fila, hay $1 + 2 + \cdots + (n-1)$ números impares antes, lo que equivale a $\frac{n(n-1)}{2}$. Así que la primera entrada en el $n$th fila debe ser $2\left(\frac{n(n-1)}{2}\right) + 1 = n^2 - n + 1$. Ahora, yendo a la $k$th entrada agregará $2(k - 1)$ a esto, por lo $A = n^2 - n + 1 + 2(k-1) = n^2 - n + 2k - 1$

Esta fórmula también implica que $B = (n+1)^2 - (n+1) + 2k - 1$$C = (n+1)^2 - (n+1) + 2(k+1) - 1$.

Si ponemos todo esto en conjunto, $A + B + C = (n^2 - n + 2k - 1) + (n^2 + n + 2k - 1) + (n^2 + n + 2k + 1) = 3n^2 + n + 6k - 1$.

De esta manera podemos resolver:

$$3n^2 + n + 6k - 1 = 2149$$

O:

$$3n^2 + n + 6k = 2150$$

La solución para $k$:

$$k = \frac{2150 - 3n^2 - n}{6}$$

Ahora necesitamos $k$ a ser un número entero, y $1 \leq k \leq n$. Desde $k$ es un número entero sabemos $n$ debe $2$ mod 3, y sabemos $3n^2 \leq 2150$, lo $n^2 \leq 717$. Por lo $n < 27$. Ahora supongo que, comenzando con el más alto valor de $n$, que es menos de $27$ $2$ mod 3, por lo $n = 26$. Conectando en lleguemos $k = 16$, lo que funciona!

Esto le da a $A = 26^2 - 26 + 32 - 1 = 681$.

Answer 3

Me gusta este.

Mira, vamos a llenar los espacios en blanco en la columna del medio con un par de números. Usted encontrará que forma la secuencia de 1, 4, 9, 16, 25, 36.. que es evidentemente x2.

Todos los números en una fila son secuenciales, por lo que podemos establecer una variable de esta posición es decir n. Y establecer que en la posición en la que nos han n, de modo que en la posición B, tenemos (n - 1) y en el C de la posición que se tiene (n + 1).

Teniendo en cuenta todo esto podemos decir:

A = x2 + n

B = (x + 1)2 + (n - 1)

C = (x + 1)2 + (n + 1)

Así que podemos poner esto en la ecuación original y vamos a tener una ecuación con dos valores para resolver (x, n). Sin embargo, también sabemos que n no puede ser mayor que x, asegurando que los valores seleccionados se encuentran en el triángulo.

Así

(x2 + n) + (x + 1)2 + (n - 1) + (x + 1)2 + (n + 1) = 2149

3x2 + 4x + (3n) + 2 = 2149

3x2 + 4x + (3n - 2147) = 0

Con esta ecuación podemos encontrar:

x = 26

n = 5

Y así:

A = 681 B = 733 C = 735

Espero que ayude!

Answer 4

Vamos a escribir los números como $a_k:=2k-1$, a partir de $k=1$. Entonces, $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=5$, y así sucesivamente. Al $A=a_k$ está en la fila $n$ (la primera fila es la fila $0$),$B=a_{k+n+1}$$C=a_{k+n+2}=B+2$. Por lo tanto, tenemos

\begin{align*} && 2149 &= a_k + 2a_{2k+n+1} +2 \\ &\Rightarrow& 2147 &= 2k-1 + 2(2(k+n+1)-1) = 6k + 4n + 1 \end{align*}

Tenga en cuenta que el $n$-ésima fila (empezando por $n=0$) del triángulo comienza con $a_{k_n}$, donde $$k_n = 1+\cdots+n = \frac{n(n+1)}2.$$ Por lo tanto, $k=k_n+q$ donde $0\le q\le n$. Sustituyendo, obtenemos \begin{align*} && 2147 &= 3n(n+1) + 10q + 4n + 1 \\ &\Rightarrow & 0 &= 3 n^2 + 7 n + 10 q -2146 \end{align*} Observar que el término lineal $10q$ no afecta a la posición de los ceros de este polinomio cuadrático mucho. Por lo tanto, me acaba de instalar en $q=n/2$ e este polinomio tiene un cero en torno a $25$. Por eso, $n=25$ parece una buena conjetura.

De hecho, el uso de $n=25$ en nuestra anterior ecuación nos da

\begin{align*} && 2147 &= 6*k + 4*25 + 1 \\ &\Rightarrow & 2046 &= 6*k \\ &\Rightarrow & 341 &= k \end{align*}

Así que tenemos $A=a_{341}=681$ de la fila $n=25$ y $B=2*(341+25+1)-1=733$, $C=735$.

Answer 5

Mirando el primer elemento de cada fila, vemos

 row      A    B    C   A+B+C
   1      1    3    5       9
   2      3    7    9      19
   3      7   13   15      35
   4     13   21   23      57
   5     21   31   33      85
   6     31   43   45     139

Utilizando diferencias finitas, nos encontramos con que

\begin{align} A &= n^2 - n + 1\\ B &= n^2 + n + 1 = A+2n\\ C &= n^2 + n + 3 = A+2n+2\\ A+B+C &= 3n^2+n+5 \end{align} donde a es el primer elemento en la fila $n$.

Para cada paso de Una a la derecha en la misma fila, a,B, y C de aumento por 2 y a+B+C aumenta por $6$.

La solución de $3n^2+n+5 = 2149$ n, obtenemos $n = 26.567$, por Lo que estamos en la fila $26$.

Para el primer elemento en la fila de $26, A = 651,\; B = 703,\; C = 705,$ and $a+B+C = 2059$.

Since $\dfrac{2149-2059}6 = 15$, we need to increase $a, B, $ and $C$ by $2\cdot15 = 30$.

Así

\begin{align} A &= 681\\ B &= 733\\ C &= 735 \end{align}