Electrón en la proximidad de un monopolo magnético

Question

Estoy desconcertado por un ejercicio en el libro "Teoría Electromagnética" de Ferraro (p.543).

Un electrón (masa $m$ , cargo $-e$ ) en un campo magnético monopolar $\vec{B}\left(\vec{r}\right)=g\frac{\vec{r}}{r^3}$ tiene debido a la fuerza de Lorentz $\vec{F}_L=-e\vec{v}\times\vec{B}$ la siguiente ecuación de movimiento:

$$m\ddot{\vec{r}}=-\frac{eg}{r^3}\dot{\vec{r}}\times\vec{r}.$$

Desde $\vec{J}=\vec{r}\times\vec{p}+eg\frac{\vec{r}}{r}$ es constante, el electrón se mueve en la superficie de un cono, cuya punta está en el origen en $\vec{r}=0$ . Matemáticamente, $\vec{r}\cdot\vec{J}=egr=rJ\cos\vartheta$ por lo que el ángulo $\vartheta$ entre $\vec{r}$ y $\vec{J}$ es constante.

Ahora utilizo coordenadas esféricas:

$$\vec{r}=r\mathbf{e}_{r} $$ $$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\vartheta}\mathbf{e}_{\vartheta}+r\dot{\varphi}\sin\vartheta\mathbf{e}_{\varphi}$$ $$\vec{a}=\ddot{\vec{r}}=\left(\ddot{r}-r\dot{\vartheta}^{2}-r\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\vartheta\right)\mathbf{e}_{r}+\left(2\dot{r}\dot{\vartheta}+r\ddot{\vartheta}-r\dot{\varphi}^{2}\sin\vartheta\cos\vartheta\right)\mathbf{e}_{\vartheta}+\left(2\dot{r}\dot{\varphi}\sin\vartheta+2r\dot{\vartheta}\dot{\varphi}\cos\vartheta+r\ddot{\varphi}\sin\vartheta\right)\mathbf{e}_{\varphi} $$

y obtener las siguientes ecuaciones de movimiento (utilizando $\dot{\vartheta}=0$ ):

$$\ddot{r}=r\dot{\varphi}^2\sin^2\vartheta \qquad(1)$$ $$r\dot{\varphi}^2\cos\vartheta=\frac{eg}{mr}\dot{\varphi} \qquad(2)$$ $$2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}=0 \qquad(3)$$ con las condiciones de contorno: $$r\left(0\right)=r_0\qquad\varphi\left(0\right)=0.$$

Para resolver (1) para $r\left(t\right)$ hay que utilizar el hecho de que la energía cinética $\frac{1}{2}m\vec{v}^2$ se conserva. Esto es así debido al potencial vectorial $\vec{A}=\frac{1}{2}\vec{B}\times\vec{r}=0$ . Por lo tanto, $$\vec{v}^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2\sin^2\vartheta\equiv u^2=\text{const}$$

Usando esto en (1) se obtiene la ecuación diferencial simplificada: $$r\ddot{r}=u^2-\dot{r}^2\qquad(4)$$

¿Alguien sabe cómo derivar la siguiente solución de (4)? $$r\left(t\right)=r_0\sqrt{1+\left(\frac{ut}{r_0}\right)^2}\qquad(5)$$

Resolviendo (2) para $\dot{\varphi}$ : $$\dot{\varphi}=\frac{eg}{mr^2\cos\vartheta}$$

e insertando (5) obtengo: $$\varphi\left(t\right)=\frac{eg}{mr_0u\cos\vartheta}\arctan{\frac{ut}{r_0}}.$$

Ahora las soluciones dicen: $$r\left(\varphi\right)=\frac{r_0}{\cos\left(\varphi\sin\vartheta\right)}.$$

Pero a mí me pasa algo parecido, pero no igual: $$r\left(\varphi\right)=\frac{r_0}{\cos\left(\frac{mr_0u\cos\vartheta}{eg}\varphi\right)}.$$

¿Tiene alguien una idea de dónde podría haber hecho algo mal?

Answer 1

En realidad, no tengo que usar la conservación de la energía cinética. Con un procedimiento ligeramente diferente, se obtiene otra ecuación diferencial simplificada.

Insertando (2) en (1):

$$\ddot{r}=\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2} \frac{1}{r^3}$$

Ahora mira:

$$\frac{\text{d}}{\text{dt}}\dot{r}^2=2\dot{r}\ddot{r}=\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2} \frac{2\dot{r}}{r^3}=\frac{\text{d}}{\text{dt}}\left(\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2}\frac{-1}{r^2}\right)$$

Así, se obtiene una ecuación diferencial más sencilla ( $C=\text{const}$ ):

$$\dot{r}^2=\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2}\frac{-1}{r^2}+C$$

y puede resolverse por separación de variables:

$$\text{dt}=\frac{r\text{ dr}}{\sqrt{Cr^2-\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2}}}$$

$$t=\frac{1}{C}\sqrt{Cr^2-\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2}}+t_0$$

Con $t_0=0$ y $r\left(0\right)=r_0$ :

$$r\left(t\right)=\sqrt{\frac{e^2 g^2 \tan^2\vartheta}{m^2r_0^2}t^2+r_0^2}$$

Ahora resolviendo para $\varphi\left(t\right)$ de (2):

$$\dot{\varphi}=\frac{eg}{m\cos\vartheta}\frac{1}{r^2}$$

$$\text{d}\varphi=\frac{m\cos\vartheta r_0^2}{eg\sin^2\vartheta}\frac{\text{dt}}{t^2+\left(\frac{m r_0^2}{e g \tan\vartheta}\right)^2}$$

Usando la integral arctangente:

$$\int\frac{\text{dt}}{t^2+b^2}=\frac{1}{b}\arctan\frac{t}{b}$$

y $\varphi\left(0\right)=0$ se obtiene:

$$\varphi\left(t\right)=\frac{1}{\sin\vartheta}\arctan\frac{e g \tan\vartheta\ t}{m r_0^2} $$

Finalmente,

$$r\left(\varphi\right)=r_0 \sqrt{\tan^2\left(\sin\vartheta \varphi\right)+1}=\frac{r_0}{\cos\left(\sin\vartheta\varphi\right)}$$