Mapa entre el $SO(n)$ es homotópica a la identidad?

Question

Estoy dada de un ejercicio, en una geometría diferencial de la clase, donde tengo a determinar si o no el buen mapa entre colectores: \begin{align} f \colon\ &SO(n) \rightarrow SO(n)\\ & A \mapsto A^2 \end{align}

Es homotópica a la identidad de mapa para $n\geq 2$.

He intentado, por $n=2$, diciendo que un elemento general de la $SO(2)$ es descrito por

\begin{equation} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}\end{equation}

y así \begin{equation} F(t,\theta):= \begin{bmatrix} \cos(t\theta) & \sin(t\theta) \\ -\sin(t\theta) & \cos(t\theta) \end{bmatrix}\end{equation}

es un homotopy, pero me han dicho que estoy equivocado.

Por favor, podría alguien decirme por qué eso no es un homotopy? Tal vez el cómputo de la degee o, mejor aún, el número de lefschetz me ayudaría a demostrar que no hay (o no hay) homotopy, pero no se me entienda cómo trabajar con $SO(n)$, podría alguien, por favor, dar algunos consejos? Gracias de antemano!

Answer 1

Aunque es cierto que cada elemento de a $SO(2)$ puede ser representado en la forma de algunos $\theta$, no es posible hacerlo de tal manera que $\theta$ depende continuamente en la matriz. (Pensar en lo que sucede a $\theta$ cuando se vaya de una vez alrededor del círculo.) Por lo tanto, su fórmula para $F$ no define una función continua de$SO(2)\times [0,1]$$SO(2)$.