No, en la ausencia de un mundial de morfismos $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$ la inducción de la isomorphisms sobre los tallos, no podemos concluir de inmediato que las dos poleas son isomorfos.
Como contraejemplo considerar dos poleas en la esfera de Riemann (el mismo funciona con cualquier proyectiva de la línea). Deje $\mathscr{F}$ ser la estructura de la gavilla. Algebraicas o holomorphic? Vamos a hacer holomorphic aquí, pero no importa. Los tallos constan de gérmenes de holomorphic funciones, es decir, el poder de la serie de $f(t)=\sum_{n\ge0}a_nt^n$ positiva con el radio de convergencia. Aquí $t$ denota una variable local, por lo que si estamos interesados en un tallo en un punto de $z_0\in\Bbb{C}$, entonces podemos usar $t=z-z_0$, y si estamos trabajando en el punto del infinito, podemos usar $t=1/z$.
A continuación, vamos a $\mathscr{G}$ ser la gavilla de holomorphic formas diferenciales. Aquí los tallos parecen
$f(t)\,dt$, donde de nuevo $t$ es una variable local, y $f(t)$ es el germen de una holomorphic función.
En el nivel de los tallos, tenemos un isomorfismo $\mathscr{F}_{z_0}\cong\mathscr{G}_{z_0}$$f(t)\mapsto f(t)\,dt$. Sin embargo, las gavillas $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ no son isomorfos. La gavilla $\mathscr{F}$ tiene la constante de funciones como global secciones, pero la gavilla $\mathscr{G}$ no tiene no-cero global de las secciones. [Edit: Olvidé de explicar esto] porque si $\omega$ fueron
un no-cero de forma diferenciada, a continuación, $F(z)=\int_{\gamma[0\to z]}\omega$ definiría un no-constante holomorphic función en la esfera de Riemann. Pero la imagen de esa función sería compacto, por lo tanto limitada, que contradice el teorema de Liouville. [/Edit]
La misma sostiene en una expresión algebraica de la categoría. IIRC Hartshorne explica por qué el sheafs $\mathscr{O}[n],n<0,$ no tienen ningún global de las secciones en la línea proyectiva. Canónica de la gavilla $\mathscr{O}[-2]$ ser el análogo de la anterior gavilla $\mathscr{G}$.
