Contando D0-D4 Enlazados A Los Estados

Question

Tengo un poco técnica combinatoria pregunta. Considere la posibilidad de la degeneración $D_n$ de la envolvente de los estados de $n$ D0 branes y un D4 de branas. Esto se da en Polchinski por (13.6.24),

\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}q^n D_n=2^8\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1+q^k}{1-q^k}\right)^{8}. \end{align}

Pude verificar esta a a $n=3$, básicamente lo que tienes que contar todas las maneras para formar enlazados a los estados de la D0 branes y, a continuación, vinculado a la D4 brane. Sin embargo, yo no era capaz de comprobar que, en general, ya que la fuerza bruta es un poco de un desastre. Hay algunas inteligente formalismo matemático que permite lidiar con combinatorical problemas como este?

Answer 1

Esta fórmula es en realidad bastante sencillo de entender.

En primer lugar, el $2^8$ es el número de posibles $D4$ estados. A continuación, para cada (indistinguibles) $D0$, que puede ser en un fermionic o bosonic estado, de los cuales hay $8$ cada uno.

A continuación, el coeficiente de $q^n$ $(1+q)^8$ es el número de maneras para $n$ independientes $D0$ branes para caber en $8$ fermionic estados.

El coeficiente de $q^n$ $(1-q)^{-8}$ es el número de maneras para $n$ independientes $D0$ branes para caber en $8$ bosonic estados.

Multiplicamos estas dos para permitir a $D0$ branes para ocupar cualquiera de los bosonic o fermionic estados.

Tomando los productos de más de $q^k$, nos permitir $D0$ branes a la primera forma de $k$-tuply enlazados a los estados que ocupan una sola $D0$ estatal.