Para cualquier entero positivo $n$, muestran que $\sum_{d|n}\sigma(d) = \sum_{d|n}(n/d)\tau(d)$

Question

Para cualquier entero positivo $n$, muestran que $\sum_{d|n}\sigma(d) = \sum_{d|n}(n/d)\tau(d)$

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Yo :

Lado izquierdo :
$\begin{align} \sum_{d|p^k}\sigma (d) &= \sigma(p^0) + \sigma(p^1) + \sigma(p^2) + \cdots + \sigma(p^k) \\ &= \dfrac{p^{0+1}-1}{p-1} + \dfrac{p^{1+1}-1}{p-1} + \cdots + \dfrac{p^{k+1}-1}{p-1} \\&= \dfrac{1}{p-1}\left( (p + p^2 + \cdots + p^{k+1}) - (k+1)\right) \\&= \dfrac{1}{p-1}\left(\dfrac{p(p^{k+1}-1)}{p-1}- (k+1)\right) \\ \end{align}$

No estoy seguro de si estoy en el camino correcto; esto no parezca sencillo. Alguna ayuda ?

Answer 1

Definir las funciones de $N$ $1$ por $N(n)=n$ $1(n)=1$ para todos los $n \in \mathbb{N}.$

Un equivalente, pero más fáciles de escribir, la solución es tener en cuenta que la la función $\sum_{d|n}\sigma(d)$ es la convolución de Dirichlet $\sigma\ast 1$ y por lo tanto la definición de $\sigma=N*1$ implica que $$\sigma*1=(N*1)*1=N*(1*1).$$ Ahora note que $1*1$ es la clásica función de divisor $\tau$ y por lo tanto, obtener $$ \sigma*1=N*\tau,$$ que proporciona la respuesta.

Answer 2

Usted puede reducir al primer poderes para hacer el trabajo, pero que no consigue en el corazón de la igualdad.

$$\sum_{d\mid n}\sigma(d)=\sum_{d\mid n}\sum_{r\mid d}r=\sum_{r\mid d\mid n}r=\cdots$$

Puede usted continuar? Para cada una de las $r\mid n$, ¿cuántas veces es $r$ un sumando de la anterior suma?

Answer 3

mirando este intuitivamente, en primer lugar, tenga en cuenta que: $$ \sum_{d|n}\sigma(d) = \sum_{d|n}(n/d)\tau(d) \\ = \sum_{d|n} d\tau(n/d) $$ así que ahora tenemos que sumar los divisores $d$$n$, cada divisor de ser contadas con multiplicidad $\tau(n/d)$. tan sólo tienes que convencer a ti mismo de que esta multiplicidad es la adecuada.

pero esto es evidente si nos fijamos en un determinado $d$, ya que para cualquier entero $m$ hemos $$ dm | n \Leftarrow \Rightarrow m | n/d $$ en palabras hay una correspondencia 1-1 entre (a) los múltiplos de $d$, que se dividen $n$, y (b) los divisores de $n/d$