El teorema del virial y una función delta de potencial

Question

Por lo que el teorema del virial nos dice que:

$2\langle T\rangle = \langle \textbf{r}\cdot\nabla V\rangle$.

Ahora me preguntaba qué pasaría si V tiene te forma:

$V(\textbf{r}-\textbf{r}') = V_0\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$ donde $\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$ es el delta-función en D dimensiones. No estoy seguro de por qué, pero creo que debo conseguir que:

$\langle \textbf{r}\cdot\nabla V\rangle = \frac{1}{D}\langle V_0\rangle$ desde el delta escribe como un producto de los diferentes componentes es:

$\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}') = \frac{1}{\sqrt{det(G)}}\prod\limits_{i=1}^D\delta(x_i-x_i')$ , $x_i$ los diferentes componentes de los vectores $\textbf{r}$, dado que en la base con la métrica G, donde a $\sqrt{det(G)}$ da el D-dimensional volumen de un elemento en la base $\textbf{e}_i$.

No sé si hay un más riguroso razonamiento para esto? O si esto es correcto aún ?

Apéndice: una perspectiva diferente:

Otra manera de ver, es que si puedo cambiar la escala de mi vector $\mathbb{r}$ bij un factor de $\lambda$, me sale:

$\delta^{(D)}(\lambda\textbf{r}-\lambda\textbf{r}') = \frac{1}{\lambda^D}\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$. Esto me hace también pensar que yo debería obtener la anterior relación para el teorema del virial. Pero todavía no estoy seguro de mi razonamiento !

La demanda adicional de potencial (necesaria para que el sistema finito)

Junto a mi delta-potencial, también tengo un extra de confinamiento potencial para mantener el conjunto de partículas. Para simplificar voy a tomar un armónico de la trampa de $V(r) = \frac{1}{2}m\omega^2r^2$ que mantiene el conjunto de partículas! Así que este es el otro término de la potencial, pero este no me considere en mi pregunta, ya que uno no plantea ningún problema para mis cálculos!

Answer 1

Comentarios a la pregunta (v8):

1. El teorema del Virial generalmente se aplican a los periódicos o de los sistemas de acotado, pero de a pares atractivo función delta de los potenciales de no constituir un sistema delimitado, a menos que el sistema es, además, confinado en una caja. (OP tiene en una actualización (v9) de la pregunta introdujo un potencial adicional para confinar las partículas.)

2. Si nos centramos en uno de los pares de interacción (de los muchos pares de interacciones), entonces el atractivo de la función delta de potencial $$\tag{A} V(r)~:=~ -A\delta^d(\vec{r}),\qquad A~>~0$$ clásicamente mal definido, y que debe ser regularizada. Uno podría esperar que la mecánica cuántica la distorsión de la función de onda representa el potencial (A) bien definidos. Sin embargo, esto no es posible por $d>2$: El potencial (A) es la mecánica cuántica sin límites de abajo para $d>2$ (Ver, por ejemplo, este Phys.Se post. La limitación de la dimensión de $d=2$ caso sólo está delimitada desde abajo suficientemente débiles atractivo función delta de los potenciales (A).)