La Intuición Matemática Detrás De Esquizofrénicos Números?

Question

Esquizofrénico números (A014824) son números cuyo cuadrado raíces "look" como los números racionales. Que se discutió por primera vez en 2004 por Darling en el Universal Libro de Matemáticas (página 282), y yo, personalmente, leer acerca de ellos de Pickover. Ellos se definen como sigue:

$$S_n=10S_{n-1}+n$$ $$S_0=0$$

Así comienzan $1,12,123,1234\ldots$ y más esquizofrénico números parecen $12345679012345679012\ldots$

La cosa interesante acerca de los esquizofrénicos números es que la raíz cuadrada de la extraña queridos de la pantalla carreras largas en su representación decimal. Desde la página de la wikipedia, $$\begin{se reúnen*}\sqrt{S_{49}}=\\ 1111111111111111111111111.\\ 1111111111111111111111\\ 0860\\ 555555555555555555555555555555555555555555555\\ 2730541\\ 66666666666666666666666666666666666666666\\ 0296260347\\ 2222222222222222222222222222222222222\\ 0426563940928819\\ 4444444444444444444444444444444\\ 38775551250401171874\\ 9999999999999999999999999999\\ 808249687711486305338541\\ 66666666666666666666666\\ 5987185738621440638655598958\\ 33333333333333333333\\ 0843460407627608206940277099609374\\ 99999999999999\\ 0642227587555983066639430321587456597\\ 222222222\\ 1863492016791180833081844\\ \cdots\end{se reúnen*} $$ después de que el patrón se desintegra en la nada. Esta secuencia de repetición de dígitos $1,5,6,2,4,\ldots$ es A060011.

Ningún lugar en la página de la wikipedia, ni Darling o Pickover la escritura, es la justificación para este comportamiento. Me di cuenta de la relación entre $$\sqrt{123456790}\approx11111.1111$$ $$11111.1111^2=123456789.87654321\approx123456790$$ pero eso no explica el extraño patrón que se muestra. Me preguntaba si alguien tiene o puede que me señale una explicación.

Answer 1

Que la recursividad debe ser de $S_n = 10 S_{n-1} + $ n.

La resolución de la recursividad, obtenemos $$S_n = \dfrac{10^{n+1}}{81} - \dfrac{9n + 10}{81}$$

Si $n$ es impar, digamos $n=2k-1$, escribo esto como

$$ S_n = \left(\dfrac{10^{k}}{9}\right)^2 \left(1 - \dfrac{9n+10}{10^{2k}}\right)$$

así que

$$\sqrt{S_n} = \dfrac{10^k}{9} \left(1 - \dfrac{9n+10}{2 \times 10^{2k}} - \dfrac{(9n+10)^2}{8\times 10^{4k}} - \ldots\right)$$

Llegamos a una cuadra de casi $10^{2k}$ dígitos de los $10^k/9 = 1\ldots1.1\ldots$, luego otra de casi $10^{2k}$ dígitos donde el $(9n+10)/(2\times 10^{2k})$ es incluido, etc.