El uso de la Función de Beth

Question

Estuve leyendo sobre el cardenal aritmética y me encontré con el beth función de $\beth_\alpha$. Para algunos ordinal $\alpha$, $\beth_\alpha$ definido por la recursividad en $\alpha$ por $\beth_0 = \aleph_0$, $\enspace \beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha}$ , y $\enspace \beth_\eta = \sup\{\beth_\alpha : \alpha < \eta \} $ donde $\eta$ es un ordinal límite.

Después de leer acerca de las diversas propiedades de $\beth_\alpha$, me sorprendió ver que no se utiliza mucho en la mayoría de los temas. Me pareció un ejercicio de Kunen de la teoría de conjuntos libro que me pareció interesante.

$(\beth_\omega)^{\aleph_0} = \prod_{n \in \omega}\beth_n = \beth_{\omega + 1}$

$ \prod_{n \in \omega}\beth_n$ se define a ser $|\mathcal{F}|$ donde $\mathcal{F} = \{f \in {}^\omega (\beth_\omega) : \forall n f(n) \in \beth_n\}$.

Desde el beth función se basa en la cardinalidad, supongo que tengo que de alguna manera comparar la cardinalidad para obtener una ecuación de largo. Hasta el momento, estoy pensando que ya que $n \in \omega$, $(\beth_\omega)^{\aleph_0} = \prod_{n \in \omega}\beth_\omega \geq \prod_{n \in \omega}\beth_n $ . También, $(\beth_\omega)^{\aleph_0} \leq 2^{(\beth_\omega)^{\aleph_0}} = 2^{(\beth_\omega)\cdot{\aleph_0}} = 2^{\beth_{\omega}} = \beth_{\omega + 1}$. Esto me deja con: $$ \prod_{n \in \omega}\beth_n \leq (\beth_\omega)^{\aleph_0} \leq \beth_{\omega + 1}.$$

No estoy seguro de dónde ir desde aquí. Quiero decir, sé que tengo que de alguna manera traer la $\leq$ a la del producto, pero que es donde estoy atascado. Podría alguien ayudarme? Gracias de antemano!

EDIT: se me olvidó mencionar que Kunen tiene una sugerencia para este ejercicio: Cada subconjunto de $\beth_\omega$ puede ser codificado por una función de $\omega$ a $\beth_\omega$.

Answer 1

El estándar truco es dividir a las $\omega$ en countably muchos conjuntos infinitos $A_i$, $i\in\omega$, y tenga en cuenta que para cada una de las $i$ tenemos $\prod_{n\in A_i}\beth_n\ge\sup_{m\in A_i}\beth_m=\beth_\omega$.

Combinado con la desigualdad, con esto se consigue que el producto $\prod_{n\in\omega}\beth_n$ es igual a $(\beth_\omega)^{\aleph_0}\le(\beth_{\omega})^{\beth_\omega}=2^{\beth_\omega}=\beth_{\omega+1}$.

Para demostrar la igualdad, el uso que $\beth_{\omega+1}=|\mathcal P(\beth_\omega)|$: Tomar cualquier subconjunto $A$ $\beth_\omega$ y nota que está totalmente determinado por $(A\cap\beth_n\mid n\in\omega)$, por lo que esto le da una inyección de $\beth_{\omega+1}$$\prod_n 2^{\beth_n}=\prod_n\beth_{n+1}\le\prod_n\beth_n$.