Eric Wofsey comentarios son muy al caso: su noción de "métrica" es justo lo que usted consigue cuando usted aplica el $\exp$ función a un estándar métrico. Sin embargo, hay algunas cosas que decir sobre el ejemplo que habéis dado.
La métrica que se han definido (o, más precisamente, la métrica $d(a,b)=\lvert \log a- \log b \rvert$) es un invariante de la métrica en el grupo multiplicativo de reales. Esto es fácil de comprobar: si se multiplica $a$ $b$ por el mismo número, la distancia se mantiene sin cambios (porque el numerador y el denominador en su cociente de cambio en la misma forma).
El hecho general de que hay que siempre tener un grupo topológico cuya topología es metrisable, entonces usted puede encontrar un invariante de la métrica que induce a la topología. Los indicadores son los `buenos" en un grupo, y es el caso aquí: cuando usted piensa acerca de positivos reales como un grupo con la multiplicación, el estándar métrico heredado de reales (que es invariante bajo la suma) es mucho menos natural que la que tú has descrito.
Por otra parte, también podemos considerar el positivo reales como una Mentira grupo. En una Mentira grupo, tan pronto como arreglar un producto interior en el espacio de la tangente a la identidad, podemos utilizar la traducción de obtener un llamado tensor métrico en el grupo, que nos permite medir la longitud de (seccionalmente suave) de las curvas. Si el grupo está conectado, esto también da lugar a una métrica (donde la distancia es simplemente el infimum de las longitudes de las curvas de conexión de los dos puntos). La métrica que este proceso se da en el caso de positivos reales (con el estándar de producto interior en el espacio de la tangente en $1$) es $d(a,b)=\lvert \log a-\log b\rvert$.
Editar:
Me siento tonta por no pensarlo antes, pero también hay una noción de valoración. Dado un anillo de $R$ y una ordenó grupo abelian $\Gamma$, la valoración es una función de $R$ $\Gamma\cup \{\infty\}$que satisface ciertos axiomas, y esto le da una noción de distancia en el ring -- lo raro aquí es que un elemento está cerca de a $0$ si su valoración es muy grande: el cero tiene la valoración de $\infty$. Una valoración anillo es un anillo en el que todos los elementos tienen no negativo de la valoración.
Pero hay un giro: a veces, las valoraciones han escrito multiplicatively. En este caso, pensamos en $\Gamma$ como un grupo multiplicativo, y en lugar de mirar a homomorphisms $R\to \Gamma\cup \{0\}$. En virtud de este convenio, una valoración anillo es un anillo en el que todos los elementos han de valoración $\leq 1$ (aviso de la desigualdad), y la "distancia" entre dos elementos está dado por $v(a-b)=v(a)/v(b)$. Lo bueno aquí es que en virtud de este convenio, los elementos se cierran cuando la valoración es pequeño.
Si $\Gamma$ es realmente un subgrupo de (positivo) de reales, lo que podemos conseguir de "multiplicación" mundo "aditivo" mundo tomando cada una de las $\gamma$$-\log(\gamma)$, y en la otra dirección mediante la adopción de $\gamma$$\exp(-\gamma)$. Incluso si $\Gamma$ no es un subgrupo de reales, aún podemos pensar sobre el resumen exponencial/logaritmo de los mapas.
Un ejemplo muy concreto de esto son las $p$-ádico valoraciones, que (en forma adicional) toma un entero a $n$ donde $n$ es el mayor número natural tal que $p^n$ divide el entero. Así, los elementos de cierre a $0$ son aquellos que son divisibles por las grandes potencias de $p$. Se extiende a los números racionales en la forma obvia, y la conclusión con respecto a la noción de la distancia, que surge nos da el campo de la $p$-ádico números. Un multiplicativo $p$-ádico valoración es justo $2^{-n}$ (o $\exp(-n)$ o $p^{-n}$, realmente no importa lo que la base por el exponente que usted elija, siempre que sea mayor que $1$).
