Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario (¡o incluso para una respuesta!).
Una solución analítica para una cuadrícula finita parece difícil. En tales situaciones, tanto la simulación como la asintótica pueden ser útiles. Aquí esbozo brevemente un poco de ambos.
Simulación de Monte Carlo
Una forma de obtener una estimación del número promedio de celdas reveladas es simular un gran número de juegos y observar qué sucede. A veces algunos trucos analíticos simples pueden ser útiles en el camino.
A continuación se muestra un ejemplo de mapa de calor que muestra el número promedio estimado de celdas reveladas en cada posición en el tablero de experto buscaminas. A continuación, describo algunos detalles sobre cómo se generó.
Las celdas están coloreadas en un degradado desde el menor (rojo) hasta el mayor (blanco) número promedio de celdas reveladas. Esta imagen se generó promediando más de 10 millones de instancias de juegos aleatorios. (Haz clic en la imagen para ver una versión más grande. Para una versión sin los promedios superpuestos, haz clic aquí.)
Si eligieras una celda al azar para jugar primero, entonces el número promedio de celdas reveladas sería aproximadamente 7.955. A partir de esto, queda claro que jugar a lo largo de la segunda banda es bastante subóptimo y en promedio abres el tablero por dos celdas más al comenzar en la fila superior o inferior en el centro.
Algunos detalles sobre la simulación
Observa que si vamos a generar instancias aleatorias del juego, también podríamos determinar cuántas celdas, en promedio, se revelan en cada posición en la cuadrícula de $16 \times 30$. Un enfoque simple pero ligeramente ingenuo es generar instancias aleatorias y llevar un seguimiento del total de celdas que se revelarían al hacer clic en cada una de las posiciones iniciales.
Sin embargo, podemos mejorar esto de inmediato reconociendo un par de hechos clave. Primero, podemos utilizar la simetría para reducir la varianza. Hay cuatro reflejos de simetría diferentes del tablero que deben dar exactamente los mismos promedios. Estos son: (i) el tablero original, (ii) volteado a lo largo del eje vertical, (iii) volteado a lo largo del eje horizontal, y (iv) rotado 180 grados. Por lo tanto, podemos tomar nuestro Monte Carlo ingenuo y hacer un promedio de las cuatro orientaciones para obtener una estimación que respete la simetría y tenga una menor varianza.
En segundo lugar, observa que las celdas individuales se clasifican fácilmente en clases de equivalencia. Las celdas que tienen minas o que están adyacentes a minas forman dos clases separadas. Todas las demás celdas se agrupan de tal manera que hay un borde cerrado que las rodea formado por una combinación de celdas "mina", celdas "adyacentes" y/o el borde del tablero. Cada celda en un clúster en particular revelará el clúster completo al hacer clic y, por lo tanto, cada celda de este tipo revela el mismo número de celdas. Esto puede acelerar considerablemente el cálculo.
Por si acaso el comportamiento en las esquinas parece ininteligible, considera qué sucede al hacer clic en la celda (1,1) versus (2,2). Hay una probabilidad $p = 99/480$ en cada caso de que el juego termine inmediatamente. Sea $q = 1 - p$. Entonces, la probabilidad de que se exponga una celda es aproximadamente $q-q^4$ en el primer caso y $q - q^9$ en el segundo. Por otro lado, la probabilidad de que se expongan al menos cuatro celdas es aproximadamente $q^4$ para la celda (1,1), mientras que para la celda (2,2), la probabilidad de que se expongan más de una celda ocurre solo con una probabilidad aproximadamente $q^9$.
Asíntotas
Como se insinuó en los comentarios, este problema está estrechamente relacionado con el estudio de la percolación de sitios. En ese contexto, consideraríamos la retícula $\mathbb{Z}^2$ con una probabilidad independiente $p$ de que cada punto de la retícula tenga una mina. Consideramos comenzar el juego siempre descubriendo la celda en el origen. Podemos preguntarnos cuál será el número esperado de celdas reveladas, pero debemos tener cuidado ya que puede haber una probabilidad positiva de que un número infinito de celdas se revele.
En los modelos de percolación de sitios, se vuelve más interesante estudiar la cantidad $\theta(p)$, la probabilidad de que se revele un número infinito de celdas. Estos problemas son sorprendentemente desafiantes y ricos desde el punto de vista matemático. El libro de G. Grimmett (1999), Percolation, Springer, 2da edición es un buen lugar para comenzar.
En nuestro caso, parece claro que un conjunto infinito contendrá el origen si y solo si no existe ningún camino cerrado que rodee al origen formado por fichas $3 \times 3$ que sean adyacentes (o que se toquen en una esquina), con una mina ubicada en el centro de cada ficha.
Sin embargo, calcular esa probabilidad no parece trivial, incluso mediante algunas herramientas estándar de percolación.
